Simple cuestión de Máxima Verosimilitud

Question

Tengo el siguiente distribución, definida por $0 < x < \theta$, su valor es $0$ lo contrario.

$$f_\theta(x)= \frac{2x}{\theta^2} $$

Encuentre el MLE de $\theta$

He intentado:

$$\prod_{i=1}^n \frac{2}{\theta^2}x_i =\left(\frac{2}{\theta^2}\right)^n \prod_{i=1}^n x_i $$

Tomando el logaritmo natural nos da:

$$ n \ln{\frac{2}{\theta^2}} + \sum\ln({x_i})=2n \ln\left({\frac{\sqrt2}{\theta}}\right) + \sum\ln({x_i})$$

Tomando la derivada con respecto al $\theta$:

$$ \frac{2n\theta}{\sqrt{2}}=0$$

Después de esta pregunta puedo obtener otras preguntas acerca de este MLE (unbiasedness, coherencia, suficiencia, etc), así que tengo la sensación de que este estimador tiene que ser un 'concreto' valor...

¿Qué está pasando? :-)

Answer 1

Así que la pregunta que deja sin respuesta la cola: Como un comentario señalado, debemos definir la densidad en una sola expresión y no con las ramas, ya que la compatibilidad depende del parámetro. Así

$$f_\theta(x)= \frac{2x}{\theta^2}\cdot \mathbf 1_{\{x\leq\theta \}}$$

para una muestra de tamaño $n$, esto le dará la posibilidad

$$L(x) = \prod_{i=1}^n\frac{2x_i}{\theta^2}\cdot \mathbf 1_{\{x_i\leq\theta \}} = \left(\frac{2}{\theta^2}\right)^n\cdot \min_i{\mathbf 1_{\{x_i\leq\theta \}}}\cdot\prod_{i=1}^n2x_i $$

No hay necesidad de considerar la log-verosimilitud para deducir que $L(x)$ es la disminución en el $\theta$ relacionado con el término $\left(\frac{2}{\theta^2}\right)^n$, y así nos gustaría que $\theta$ tan pequeño como sea posible. Pero si en uno de los $x_i$ es mayor que la elegida $\theta$, entonces la probabilidad de que el valor va a ser exactamente cero, mientras que en el resto de los casos será mayor que cero, debido a que el indicador de la función será cero. Pero como por el aumento de $\theta$ estamos bajando el valor de la probabilidad, podemos aumentar la $\theta$ no más de lo necesario, para evitar que la probabilidad igual a cero. Por lo tanto $$\hat \theta_{MLE} = \max_i\{x_i\}$$