Pregunta (a)
Paseo aleatorio en un reloj. Considere los números $1, 2, \dots, 12$ escrito alrededor de un reloj. Consideremos una cadena de Markov que salta con igual probabilidad a uno de los dos números adyacentes en cada paso.
- ¿Cuál es el número esperado de pasos que $X_n$ tardará en volver a su posición inicial?
( Mi trabajo )
A partir de un resultado en clase, sabemos que una matriz de transición doblemente estocástica $p$ para una cadena de Markov con $12$ estados tiene la distribución uniforme $\pi(x) = 1/12$ para todos $x$ como una distribución estacionaria. También sabemos que si la cadena es irreducible y existe una distribución estacionaria (se cumplen ambas hipótesis) $\pi(y) = {1\over E_yT_y}$ por lo que el tiempo esperado de primer retorno ( $E_yT_y$ ) es 12.
Pregunta b)
- ¿Cuál es la probabilidad de que $X_n$ visitará todos los demás estados antes de volver a su posición inicial?
Mi pregunta
No estoy seguro de cómo calcular esta probabilidad. Mi primera intuición fue considerar $P(T_y > 12)$ Pero, considerando más el problema, esto parece incorrecto porque la cadena no tiene que visitar todos los estados antes del movimiento 12.
