¿El mínimo inyectiva resolución de la menor longitud?

Question

Deje $A$ ser un Noetherian (no necesariamente local) del anillo y $M$ un finitely generadas $A$-moduel. Es la longitud de la mínima inyectiva resolución de $M$ siempre igual a la inyectiva dimensión de $M$? (Al igual que la dimensión proyectiva y libre mínima de resolución.) Sospecho que la fórmula para el Bajo número de $$\mu_i(\mathfrak{p},M)=\mbox{dim}_{\kappa(\mathfrak{p})}\mbox{Ext}^i_{A_{\mathfrak{p}}}(\kappa(\mathfrak{p}),M_{\mathfrak{p}})$$ pueden tener la clave, pero me parece que no puede ir a ninguna parte.

Answer 1

Si $$0\rightarrow M\rightarrow Q^0\rightarrow Q^1\rightarrow\cdots\equiv\mathcal{Q}^{\bullet}$$ is any injective resolution $\mathcal{I}^{\bullet}$ of $M$, there is an injective chain map $\mathcal{I}^{\bullet}\hookrightarrow\mathcal{Q}^{\bullet}$, implying that $\mbox{length}(\mathcal{I}^{\bullet})\leq\mbox{length}(\mathcal{Q}^{\bullet})$.