Hace $S_k= \sum \limits_{n=1}^{\infty}\sin(n^k)/n$ convergen para todos los $k>0$?
Motivación: hace poco me enteré de que $S_1$ converge. Creo que $S_2$ converge por la integral de la prueba. Fue la pregunta que se conoce en general?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Este es un reemplazo de mi respuesta anterior. La suma converge, y este hecho, incluso más matemáticas de lo que yo creía antes.
Comience usando la sumación por partes. Esto le da $$\sum_{n=1}^N \left(\sum_{m=1}^N \sin(m^k) \right) \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) + \frac{1}{N+1} \left(\sum_{m=1}^N \sin(m^k) \right).$$ Escribe $S_n:= \left(\sum_{m=1}^n \sin(m^k) \right)$. Así que esto es $$\sum_{n=1}^N S_n/(n(n+1)) + S_N/(N+1).$$ El segundo término tiende a cero por Weyl del polinomio equidistribución teorema. Así que tu pregunta es equivalente a la pregunta de si $\sum s_n/(n(n+1))$ converge. Bien podemos limpiar esto un poco: Desde $|S_n| \leq$ n, sabemos que $\sum S_n \left( 1/n(n+1) - 1/n^2 \right)$ converge. Así que la pregunta es si $$\sum \frac{S_n}{n^2}$$ converge.
Voy a demostrar que $S_n$ es lo suficientemente pequeño que $\sum S_n/n^2$ converge absolutamente.
La manera que yo quiero probar esto es el uso de Weyl de la desigualdad. Deje de $p_i/q_i$ ser una secuencia infinita de números racionales tales que $|1/(2 \pi) - p_i/q_i| < 1/q_i^2$. Dicha secuencia existe un estándar lema. Weyl desigualdad que da $$S_N = O\a la izquierda(N^{1+\epsilon} (q_i^{-1} + N^{-1} + q_i N^{-k})^{1/2^{k-1}} \right)$$ para cualquier $\epsilon>0$.
Gracias a George Lowther para señalar el paso siguiente: de Acuerdo a Salikhov, por $q$ lo suficientemente grande, tenemos $$|\pi - p/q| > 1/q^{7.6304+\epsilon}.$$ Dado que $x \mapsto 1/(2x)$ es de Lipschitz cerca de $\pi$, y desde $p/p$ cerca $\pi$ implica que $p$ y $q$ es casi proporcional, también tenemos el límite inferior $|1/(2 \pi) - p/q|> 1/q^{7.6304+\epsilon}$.
Deje de $p_i/q_i$ ser el convergents de la continuación de la fracción de $1/(2 \pi$. Por un resultado estándar, $|1/(2 \pi) - p_i/q_i| \leq 1/(q_i q_{i+1})$. Por lo tanto, $q_{i+1} \leq q_i^{6.6304 + \epsilon}$ para $i$ lo suficientemente grande. Por lo tanto, los intervalos de $[q_i, q_i^{7}]$ contener todos los suficientemente grandes enteros.
Para cualquier suficientemente grande $N$, elegir $q_i$ tales que $N^{k-1} \in [q_i, q_i^7]$. A continuación, Weyl la desigualdad da el obligado $$S_N = O \a la izquierda( N^{1+\epsilon} \left(N^{-(k-1)/7} + N^{-1} + N^{-1} \right)^{1/2^{k-1}}\right)$$
Por lo que $S_N = O(N^{1-(k-1)/(7\cdot 2^{k-1}) + \epsilon})$, lo cual es suficiente para asegurarse de que la suma converge. ${ }{}{}{}{}$
