$ \newcommand\grade[1]{\langle#1\rangle} \newcommand\lcontr{{\rfloor}} \newcommand\rcontr{{\lfloor}} $
El producto exterior
Multivectores dados $A = \sum_{i=0}^n A_i$ y $B = \sum_{i=0}^n B_i$ donde $A_i, B_i$ son $i$ -entonces como $\wedge$ es bilineal $$ A\wedge B = \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n A_i\wedge B_j. $$ Para definir $\wedge$ en términos del producto geométrico, típicamente iríamos con $$ A_i\wedge B_j = \grade{A_iB_j}_{i+j} $$ donde $\grade{}_k$ es la proyección sobre el grado $k$ parte; entonces se extiende por linealidad, es decir $$ A\wedge B = \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n\grade{A_iB_j}_{i+j}. $$ Si $a_1, a_2,\dotsc, a_k$ son vectores, entonces también podemos definir su producto exterior como la suma completamente antisimetrizada: $$ a_1\wedge a_2\wedge\cdots\wedge a_k = \frac1{k!}\sum_{\sigma\in\mathrm{Perm}(k)}\mathrm{sgn}(\sigma)a_{\sigma(1)}a_{\sigma(2)}\cdots a_{\sigma(k)}, $$ donde la suma es sobre todas las permutaciones de $\{1,\dotsc,k\}$ . Probablemente se pueda extender a las cuchillas, pero no sé cómo.
El producto interior
En lugar de tratar de trabajar con algún tipo de producto punto simétrico, es mucho mejor trabajar con el izquierda ( $\lcontr$ ) y derecha ( $\rcontr$ ) contracciones . Véase aquí . Se definen de forma más natural como las operaciones adjunto al producto exterior: $$ \grade{(A\wedge B)C}_0 = \grade{A(B\lcontr C)}_0,\quad \grade{A(B\wedge V)}_0 = \grade{(A\rcontr B)C}_0 $$ para multivectores arbitrarios $A, B, C$ . También están los universal identidades $$ (A\wedge B)\lcontr C = A\lcontr(B\lcontr C),\quad A\rcontr(B\wedge C) = (A\rcontr B)\rcontr C. $$ Como ya te habrás hecho una idea, las contracciones izquierda y derecha tienen las mismas identidades pero invertidas; por ello, a partir de ahora me centraré únicamente en la contracción izquierda.
En los vectores, tenemos simplemente $a\lcontr b = a\cdot b$ . La contracción por un vector es una (graduada) derivación : $$ a\lcontr(B\wedge C) = (a\lcontr B)\wedge C + \hat B\wedge(a\lcontr C) $$ donde $\hat B$ es la involución de grado (o involución principal) de $B$ .
En general, podemos encontrar que $$ A_i\lcontr B_j = \begin{cases} 0 &\text{if } j - i < 0 \\ \grade{A_iB_j}_{j-i} &\text{if } j - i \geq 0. \end{cases} $$ Extensión por linealidad a multivectores generales $A = \sum_{i=0}^nA_i$ y $B = \sum_{i=0}^nB_i$ , $$ A\lcontr B = \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nA_i\lcontr B_j = \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n\grade{A_iB_j}_{j-i}, $$ con la convención de que $\grade{\cdots}_{j-i} = 0$ si $j - i < 0$ .
En cuchillas $A_i, B_j$ la contracción tiene una interpretación geométrica: $A_i\lcontr B_j = 0$ sólo si $i > j$ o existe un vector en $A_i$ completamente perpendicular $B_j$ . Cuando no es cero, $A_i\lcontr B_j$ es una subcama de $B_j$ completamente perpendicular a $A_i$ .
El producto geométrico
No hay una forma sencilla (que yo conozca) de expresar el producto geométrico de multivectores arbitrarios en términos de contracción y producto exterior. Dicho esto, para $a$ un vector y $B$ un multivector arbitrario, tenemos $$ aB = a\lcontr + a\wedge B,\quad Ba = B\rcontr a + B\wedge a. $$
