Sobre la diferenciabilidad

Question

Deje $f(x)$ ser un continuo valor real de la función en $\mathbb{R}$. Si es derivable en cada una de las $x\neq0$ e si $\lim_{x\rightarrow0}f'(x)$ existe, implica que el $f(x)$ es diferenciable en a $x=0$ ?

Intuitivamente debería ser verdad, pero creo que podría ser un contraejemplo, que explota la conmutación de límites y continuidad uniforme.

Answer 1

Sí, esto implica que $f$ es diferenciable en a$x=0$,$f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f'(x)$. Esto puede ser demostrado fácilmente usando la media-teorema del valor.

EDITAR:

Prueba: Supongamos $l=\lim _{x \to 0} f'(x)$. Primero vamos a demostrar que $$ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^ + } \frac{{f(h) - f(0)}}{h} = l. $$ Deje $\varepsilon > 0$. Entonces, desde el $\lim _{x \to 0^+} f'(x) = l$ existe $\delta > 0$ tal que $$ |f'(x) - l| < \varepsilon $$ para cualquier $x \in (0,\delta)$. Supongamos siguiente que $h \in (0,\delta)$. Desde $f$ es continua en a $[0,h]$ y diferenciable en a $(0,h)$, por la media-teorema del valor existe $c \in (0,h)$ tal que $$ f'(c) = \frac{{f(h) - f(0)}}{h}. $$ Tomando nota de que $c \in (0,\delta)$, por lo tanto tenemos $$ |f'(c) - l| < \varepsilon. $$ Así que, dado cualquier $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $h \in (0,\delta)$ implica $$ \bigg|\frac{{f(h) - f(0)}}{h} - l \bigg| < \varepsilon. $$ Por lo tanto, por definición (de lado) límite, hemos $$ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^ + } \frac{{f(h) - f(0)}}{h} = l. $$ De forma análoga, $$ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^ - } \frac{{f(h) - f(0)}}{h} = l. $$ Por lo tanto $$ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 } \frac{{f(h) - f(0)}}{h} = l, $$ que es $$ f'(0) = l. $$