La solución de la matriz de la ecuación de $AB = C$ $B (n\times 1)$ $C (n\times 1)$

Question

Estoy tratando de resolver una ecuación de matriz como $AB = C$. El $A$ es la matriz desconocida y debo encontrarlo. Sé que $B$ $C$ $n \times 1$ matrices y por lo $A$ debe $n \times n$.

No puedo usar el inverso de B, ya que no existe.

Answer 1

Permítanme transcripción de la excelente respuesta de @G. de la Cabina en un "visible".

Permítanme reescribir la ecuación de matriz bajo la forma: $AV_1=V_2$.

Como no hay limitaciones de $A$ el envío de cualquier vector a cualquier vector se puede escribir $AA_1=A_2$ con:

$$A_1:=\left(\begin{array}{l|cccc} \vdots & * & * & * & *\\ \vdots & * & * & * & *\\ V_1 & * & * & * & *\\ \vdots & * & * & * & *\\ \vdots & * & * & * & * \end{array}\right) \ \ \text{y} \ \ A_2:=\left(\begin{array}{l|cccc} \vdots & * & * & * & *\\ \vdots & * & * & * & *\\ V_2 & * & * & * & *\\ \vdots & * & * & * & *\\ \vdots & * & * & * & * \end{array}\right) $$ cuando las entradas de la $n \times (n-1)$ derecho bloques son arbitrarias (de una manera práctica : seleccionados al azar).

Entonces la solución general para el problema es

$$A=A_2A_1^{-1}$$

bajo la condición de que $A_1$ es invertible.

Answer 2

Si $B = 0$ $C \neq 0$ no existen soluciones. Si $B = C = 0$ cualquier $n \times n$ matriz $A$ es una solución.

Así que considere el caso de $B \neq 0.$ Dado un $ n \times n$ $A=(a_{ij})$ deje $\mathbf{a}$ el valor del $n^2 \times 1$ vector columna $ (a_{11} \dots a_{1n} \ a_{21} \dots a_{2n} \dots a_{n1} \dots a_{nn})^T.$

$\mathbf{a}$ está determinada únicamente por $A$ y vice-versa.

Deje $\tilde{\mathbf{B}}$ indican a continuación, $ n \times n^2$ matriz $\begin{pmatrix} B^T & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & B^T & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & B^T \end{pmatrix}. $

Nuestro problema es equivalente a la determinación de todos los $\mathbf{a}$ que satisfacer $$\tilde{\mathbf{B}} \mathbf{a} = C.$$

Tenga en cuenta que $B \neq 0$ implica $\texttt{rank}(\tilde{\mathbf{B}}) = n$. Para ver esto vamos a $B=\begin{pmatrix} b_1 & b_2 & \dots & b_n\end{pmatrix}^T$ y nota que por permuting las columnas de a $\tilde{\mathbf{B}}$ obtenemos la matriz $\left[ \begin{matrix} b_1 I_n & b_2I_n & \dots &b_nI_n \end{matrix} \right]$ y algunos $b_i \neq 0.$ Esto implica que la ecuación de arriba siempre tiene una solución al $B \neq 0.$

En el caso complejo, a continuación, obtener todas las soluciones de $\mathbf{a}$ $(\tilde{\mathbf{B}})^\dagger C + (I - (\tilde{\mathbf{B}})^\dagger \tilde{\mathbf{B}}) x$ donde $x$ es arbitraria $ n^2 \times 1$ vector y $(\tilde{\mathbf{B}})^\dagger$ es el de Moore-Penrose de la inversa de $\tilde{\mathbf{B}}$ .

Answer 3

Ponga a un lado de la $B_1$ vector columna otros $n-1$ vectores, de tal manera que el todo se convierte en una matriz de $B_n$ $n$ independiente de vectores, por lo que el $B_n$ es invertible. Hacer lo mismo con $C_1$, pero en este caso no se necesita de la independencia. Entonces $A_n$=$C_n B_n^{-1}$ le dará "todas" las matrices tales que el $A_n B_1=C_1$.
Nota: el proceso se aplica también en caso de tener $B$ $C$ con dos, .. ,$n$ columnas.

Answer 4

Para dos matrices generales $B,C$ orden $m \times n$ (nota de que, en su caso $m=n$$n=1$) sobre un campo $\mathscr{F}$ la ecuación tiene solución si y sólo si el espacio fila de a $C$ es un subespacio del espacio fila de a $B$. Si este es el caso, entonces usted puede construir la matriz de $A$, utilizando la siguiente: $$A=\begin{bmatrix} C & X \end{bmatrix}\begin{bmatrix} B & Y \end{bmatrix}^R,$$ where $X \in M_{m \times (m-r)}(\mathscr{F}), Y \in M_{m \times (m-r)}(\mathscr{F})$ and $\begin{bmatrix} B & Y \end{bmatrix}$ is full row rank.The symbol $R$ indicates a right inverse, and $r$ the rank of $B$.

Además, una matriz de $A$ de cada una de las posibles rango puede ser construido por la elección de $X$ de rango $$0 \leq \text{r}(X) \leq \min(m-\text{r}(C),m-\text{r}(B))$$ such that R$(X) \cap$ R$C) = \{0\}$. For a full proof and a worked out example please see this text, specifically the preliminary section on matrix division. You will see in the text the situation is even more general as the rows of $B$ and $C$ pueden ser diferentes, así que la idea es encontrar un "derecho-cociente" para cualquier par de matrices con la misma cantidad de columnas, siempre que ello sea posible. Su pregunta es simplemente un caso especial.

Tal vez sólo puedo mencionar el principio básico involucrado...Si $B$ es de una fila completa de rango, tiene un derecho y al revés, podemos escribir la $A=CB^R$. Si $B$ no es de una fila completa de rango necesitamos la matriz $Y$, que consiste simplemente en columnas son linealmente independientes de las columnas de a $B$, y luego junto con el $B$ va a crear una matriz de una fila completa de rango. Esto asegura que un derecho inversa existe para la matriz $\begin{bmatrix} B & Y \end{bmatrix}$. Si nos aumentan las columnas de a $B$ también tenemos que aumentar las columnas de a $C$ para mantener la multiplicación $$A\begin{bmatrix} B & Y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} C & X \end{bmatrix}$$ validez: esta es la matriz de $X$. Ahora $X$ proporciona un medio para variar el rango de $A$.

En términos prácticos, las matrices $X$ $Y$ puede ser calculado mediante la aplicación de elementales de fila/columna de reducción en $B$ $C$ y la selección de ciertas columnas de la resultante de primaria matrices...no es un bien trabajado ejemplo, en el texto en la sección 2.2.1.

Answer 5

Aquí es una solución explícita suponiendo real de las matrices. Suponga $B = \begin{pmatrix} b_1 & b_2 & \dots & b_n \end{pmatrix}^T \neq 0.$

También se $\|B\|^2 = \sum_{i=1}^n b_i^2 > 0.$

La asignación de $A \to AB$ es una transformación lineal. El núcleo de esta transformación es el conjunto de todos los $n \times n$ matrices $A$ en cuyas filas son ortogonales de $B$, es decir, el núcleo se compone de todas las matrices de la forma $X\left(I - \dfrac{BB^T}{\|B\|^2}\right)$ donde $X$ es arbitraria $n \times n$ matriz.

Es fácil ver $\dfrac{CB^T}{\|B\|^2}$ es una solución particular.

Así que el conjunto de todas las soluciones se compone de las matrices de la forma $\dfrac{CB^T}{\|B\|^2} + X\left(I - \dfrac{BB^T}{\|B\|^2}\right)$ donde $X$ es arbitraria $n \times n$ matriz.