Si $a \cdot a = 1$ $a = 1$ o $a = -1$

Question

Deje $F$ ser un campo.

Y deje $a \in F$ tal que $a \cdot a = 1$.

Reclamo: $a = 1$ o $ a = -1$

Antes, quiero comenzar con la prueba no puedo entender lo $ a = -1$ representa...

Es $a = -1$ que representa la inversa de a$a$?

Soy capaz de llegar a $a = 1$ sin ningún problema, pero ¿cómo se obtiene el $-$ signo para mostrar en tu prueba?

Prueba: Este es mi intento de llegar a $a=-1$.

Si $a = 0$ entonces tenemos $0 \cdot 0 = 0 \neq 1$. Entonces esto implica que $a \neq 0$ lo que implica que $ \exists b \in F,$ s.t. $a \cdot b = 1$, es decir, $b$ es el inverso multiplicativo de a$a$.

Conociendo este hecho probar de la siguiente manera...:

$a \cdot a = 1 \implies$ $ (a \cdot a) \cdot b = 1 \cdot b \implies$ $a \cdot (a \cdot b) = 1 \cdot b \implies$ $a \cdot 1 = 1 \cdot b \implies$ $ 1 \cdot a =1 \cdot b \implies$ $a = b$.

Pero desde $b$ es el inverso multiplicativo de a$a$ es suficiente para decir que $a = -1$?

Answer 1

Un campo es básicamente un aditivo grupo junto con un grupo multiplicativo que juega muy bien con el aditivo. El aditivo grupo generalmente se denota con el operador $+$, y la función inversa de ese grupo es generalmente denota con el operador $-$, por lo que $-a$ se define como el inverso aditivo de a$a$ en el grupo. Puede darse el caso de que $-a = a$ (por ejemplo, en cualquier campo de la característica 2, esto es cierto para todos los $a$). De hecho, $-$ puede no tener nada que ver con la reducción en $\mathbb{Z}$ a la que están acostumbrados.

Usted necesita demostrar que $a^2 = 1$ implica $a = 1$ o $a = -1$; equivalentemente, si eres aprensivo acerca de los signos menos, que $a = 1$ o $a + 1 = 0$. Los dos formulaciones son exactamente los mismos.

(Y, para conducir esta de nuevo en casa, es posible que $a = 1$ e $a = -1$ a ser simultáneamente verdaderas! En el campo de $\mathbb{F}_2$ de dos elementos, $1 = -1$; y es cierto, en cualquier campo de la característica $2$.)

Answer 2

Antes, quiero comenzar con la prueba no puedo entender lo $a=−1$ representa...

Usted no tiene que overthink piensa. La inversa de a$a$ es $(-a)$. Y $a=-1$ significa, que $a=-1$. Los cálculos de trabajo en todos los campos de la misma. No importa si usted tiene $\mathbb{R}$, $\mathbb{Q}$ o un campo finito como $\mathbb{F}_2$, que es el campo con dos elementos $0$ e $1$.

Finito de los campos puede ser confuso al principio, que en realidad podría ser $1=-1$ que parece extraño a primera.

Pero para hacer $(\mathbb{F}_2, +,\cdot)$ un campo, debemos calcular así:

$0$ es el elemento neutro de $+$ e $1$ el elemento neutro de $\cdot$.

Por lo tanto $0+0=0$ e $1+0=1$ e $0\cdot 1=0$ e $1\cdot 1=1$. ¿Qué es $1+1$? Tiene que ser $1+1=0$! Porque si tuviéramos $1+1=1$ tuvimos $1=0$ después de restar $1$ en ambos lados. Pero esto contradice que 0 y 1 son diferentes, que son los axiomas de un campo. (Neutral elementos de la adición y la multiplicación son únicos).

Esto significa que 1 es su propia inversa y son $1=-1$ que es sólo la notación en ese punto.

Sólo como un poco de "introducción".

Para resolver su pregunta, usted puede ir simplemente como esto:

$a^2-1=0\Leftrightarrow (a+1)(a-1)=0$

Esto es cierto en todos los campos!

Usted podría han demostrado, que el $a\cdot b=0\Leftrightarrow a=0\vee b=0$ sostiene en un campo.

Por lo tanto $a+1=0\vee a-1=0\Leftrightarrow a\in\{-1,1\}$.