Suma de los cuadrados de una forma recursiva de la función definida

Question

Este problema es de una competencia de matemáticas a partir de 1994. He estado teniendo problemas para trabajar con este problema:

Deje $f(1) = 1,$$f(n + 1) = 2\sqrt{f(n)^2 + 1}$$n \geq 1$. Si $N \geq 1$ es un número entero, encontrar $$\sum_{n = 1}^{N}f(n)^2.$$

He intentado muchas cosas, y aunque he encontrado algunos patrones, yo no podía llegar a ninguna parte. Algunos valores, que puede ser de ayuda, se enumeran a continuación:

• $f(1) = 1$
• $f(2) = 2\sqrt{2}$
• $f(3) = 6$
• $f(4) = 2\sqrt{37}$
• $f(5) = 2\sqrt{149}$

Ya que el problema es tan viejo, no hay solución.

Answer 1

Si ponemos $b_n = f(n)^2$, luego tenemos a $$b_{n+1} -4b_n = 4 = b_n-4b_{n-1}\implies \boxed{b_{n+1} -5b_n +4b_{n-1}=0}$$

y tenemos que encontrar a $$S:=\sum_{n=1}^Nb_n$$

La solución de caja ecuación característica $x^2-5x+4=0$ obtenemos $b_n = a+b\cdot 4^n$. Si tenemos en recuento que el $b_1=1$ $b_2=8$ obtenemos $b_n = {1\over 3}(7\cdot 4^{n-1}-4)$

Por lo $$S = {1\over 3}\Big(7{4^N-1\over 4-1} -4N\Big) = {1\over 9}\Big(7\cdot 4^N-7-12N\Big)$$