Demostrar que para cualquier entero $n\ge5$, la desigualdad de ${2n \choose n}>3^n$ mantiene.

Question

He utilizado la inducción, pero se quedó atascado en el último paso. Por la cancelación de los factores comunes en la ampliación de la $2n$ elija $n$, tengo una simplificación de la ecuación que no tenía sentido.¿Cómo puedo probar esta desigualdad?

Answer 1

El paso principal es demostrar por $n+1$

$${2(n+1)\choose n+1}=\frac{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}{2n\choose n}=\frac{2(2n+1)}{(n+1)}{2n\choose n}$$

El uso de la hipótesis de

$${2(n+1)\choose n+1}>\frac{2(2n+1)}{(n+1)}\cdot 3^n$$

pero

$$\frac{2(2n+1)}{n+1}=\frac{4n+2}{n+1}=\frac{3(n+1)+(n-1)}{n+1}=3+\frac{n-1}{n+1}>3$$

así,

$${2(n+1)\choose n+1}>\frac{2(2n+1)}{(n+1)}\cdot 3^n>3\cdot 3^n=3^{n+1}$$

Answer 2

Aquí un poco goofier enfoque:

Por el teorema del binomio, tenemos $4^n=\sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k}$. Desde $\binom{2n}{n}$ es el más grande de estos $2n+1$ sumandos, es al menos tan grande como el promedio de los sumandos. Por lo $\binom{2n}{n} \geq \frac{4^n}{2n+1}$.

Yo reclamo que $\frac{4^n}{2n+1}>3^n$ todos los $n \geq 11$. Esto puede ser demostrado por inducción: es cierto para $n=11$, y si es verdad para algunos fijos $n\geq 11$, luego $$ \frac{4^{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{4}{3}\frac{4^n}{3^n}>\frac{4}{3}(2n+1)>2n+3 $$ (esta última desigualdad se mantiene para todos los $n \geq 3$).

Por lo que el resultado es cierto para $n \geq 11$. Sólo queda comprobar que es cierto para $n=5,6,7,8,9,10$, que es un sencillo cálculo.

Answer 3

Desde $\binom{2m+2n}{m+n}\ge\binom{2m}m\binom{2n}n,$ el conjunto $\{n:\binom{2n}n\ge3^n\}$ es cerrado bajo la suma. Por lo tanto, con el fin de mostrar que la desigualdad se cumple para todos los $n\ge5,$ es suficiente para comprobarlo por $n=5,6,7,8,9.$

Answer 4

Las dos identidades: $$\binom{n}{k} = \frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}$$ $$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$$ Aplica aquí. $$\binom{2n+2}{n+1}=\frac{2n+2}{n+1}\binom{2n+1}{n}=\frac{2n+2}{n+1}\binom{2n+1}{n+1}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}\binom{2n}{n}$$

Entonces acaba de obtener cotas inferiores $$\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} \geq 3$$ que es hacia adelante.

Answer 5

Deje $a=\frac{(2n)!}{n!n!}$. Dado que el $a>3^n$ muestra $\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}a > 3^{n+1}$.

$\frac{4n^2+7n+2}{n^2+2n+1}a > 3*3^n$. Desde $a>3^n$ es suficiente para mostrar que $\frac{4n^2+7n+2}{n^2+2n+1} > 3$. $$ 4n^2+7n+2 > 3n^2+6n+3$$$$ n^2+n-1 > 0$$ que es claramente cierto para $n\geq 5$