Bonito parametrización de $x^2 + y^2 - kx^2y^2 =1$

Question

Puede alguien encontrar una sencilla parametrización de esta curva. Sólo el trimestre en el que $x \ge0$ $y \ge0$ estaría bien.

La parametrización debe ser "buenos" en el sentido de que la primera derivada del vector nunca debe ser cero o infinito.

Se puede suponer que la $0<k<1$.

Si ayuda, la curva parece algo así como un círculo, pero el aumento de la $k$ parámetro hace que la curva más plaza-ish, como un llamado super-elipse.

Parametrización mediante funciones racionales sería muy bonito, pero las funciones trigonométricas iba a estar bien, demasiado.

He intentado obvio truco: tener una línea en ángulo de $\theta$ y encontrar su intersección con la curva. Esto le da una parametrización en términos de $\theta$, pero es un lío. Yo estoy esperando algo más sencillo.

Si es importante para usted, esto no es la tarea. Esta ecuación representa una parte de un avión de fuselaje, y tener una representación paramétrica de que iba a hacer ciertas aplicaciones más fácil. Como el dibujo, por ejemplo.

Answer 1

Si entiendo tu pregunta, lo que desea es la parte con $0 \leq x,y \leq 1$. Después podría resolver una ecuación de segundo grado en $x$ o $y$ y obtener algo así como $$t \mapsto \left(t,\sqrt{\frac{t^2-1}{kt^2-1}}\right),\quad t \in [0,1].$$

Answer 2

Aquí es el mejor que podía hacer, después de un montón de expresiones algebraicas trasteo. Conjunto $$ w(t) = \frac{2}{1 + \sqrt{1 - k \sin^2 2t}} $$ y, a continuación, $$ x(t) = \sqrt{w}\cos t \quad ; \quad y(t) = \sqrt{w}\sin t $$ No es tan malo, supongo. Tal vez las funciones trigonométricas podrían ser sustituidas por funciones racionales, y todo el lío podría simplificarse ??

Answer 3

Me temo que te golpee en curvas elípticas en lugar de funciones racionales. Sin embargo, esta muestra que,

$$x^2 + y^2 - k x^2 y^2 - 1 = 0\tag{1}$$

tiene un número infinito de soluciones racionales. La solución para $y$,

$$y =\frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-kx^2}}\tag{2}$$

Si por alguna constante $k$ no es racional $x,y$, entonces uno puede tratar a $(2)$ como una curva elíptica. Por ejemplo, supongamos $k=1/3$, $(2)$ tiene soluciones $x = 2,\;266/23,\dots$ ad infinitum.