Colección de funciones continuas determina la topología

Question

Deje $(X,\tau)$ ser un espacio topológico. Hacer el conjunto de todos los $X\rightarrow X$ funciones continuas únicamente determina $\tau$?

Answer 1

No. Por ejemplo, el discreto y trivial de las topologías de realizar cada una de las funciones de $X$ $X$continuo.

Answer 2

No.

deje $X$ ser un conjunto arbitrario con dos o más elementos, y deje $\tau_1$ ser discreta de la topología en $X$ (todos los conjuntos son abiertos), y deje $\tau_2$ ser la topología trivial en $X$ (sólo$X$$\emptyset$) están abiertos. Tenga en cuenta que todos los mapas de $(X,\tau_1)$ y todos los mapas en $(X,\tau_2)$ son continuos, independientemente de a dónde van o de dónde vienen, respectivamente. Por lo tanto, en ambos casos, el conjunto de todas continua mapas de $X\rightarrow X $ es el conjunto de todo el conjunto de la teoría de los mapas de $X\rightarrow X $, pero $\tau_1 \neq \tau_2$.