Me gustaría escribir ecuaciones para $c_{ij}(t)$,
Con un hamiltoniano de la forma $$H=\sum_{kn}a^{\dagger}_k t_{kn}a_n + \frac{1}{2}\sum_{klmn}a^{\dagger}_k a^{\dagger}_l v_{klmn}a_m a_n$$ with $t_{kn}$ and $v_{klmn}$ como elementos de la matriz de la energía cinética y potencial de la partícula. Ahora estoy operando en un de dos partículas estado $$|\psi (t)\rangle =\sum_{ij}a^{\dagger}_i a^{\dagger}_j |0\rangle c_{ij}(t)$$ Ahora tengo el potencial con el trabajo, así como el tiempo de derivada parcial. En realidad estoy teniendo problemas con la energía cinética parte (de ahí el título). He aquí lo que he hecho. teniendo en cuenta sólo el primer término de actuar $$\sum_{kn}\sum_{ij}a^{\dagger}_k t_{kn} a_n a^{\dagger}_i a^{\dagger}_j |0\rangle c_{ij}(t)$$ I use the commutation relations to fanangle the set of three operators after $t_{kn}$ into $\delta_{ni}^{\daga}_j \pm \delta_{nj}^{\daga}_i$ where the $\pm$ es para tanto fermiones y bosones. La inserción de este en la anterior, puedo conseguir $$\sum_{kn}\sum_{ij}t_{kn}a^{\dagger}_k (\delta_{ni}a^{\dagger}_j \pm \delta_{nj}a^{\dagger}_i)|0\rangle c_{ij}(t)$$ Ahora tomando la suma de $n$ I get $$\sum_k \sum_{ij}(t_{ki}a^{\dagger}_k a^{\dagger}_j \pm t_{kj}a^{\dagger}_k a^{\dagger}_i)|0\rangle c_{ij}(t) $$
Ahora mi problema parece una tontería para mí, pero no puedo averiguar lo que es el derecho de mover aquí. Si me swtich la $i$ $j$ en el segundo término después de la $\pm$ $c_{ij}(t)$ es simétrica, entonces es posible que cero, pero no creo que tenga sentido. Mi total ecuación a partir de ahora es $$\sum_k \sum_{ij}(t_{ki}a^{\dagger}_k a^{\dagger}_j \pm t_{kj}a^{\dagger}_k a^{\dagger}_i)|0\rangle c_{ij}(t)+\frac{1}{2}\sum_{kl}\sum_{ij}a^{\dagger}_k a^{\dagger}_l v_{klij}|0\rangle c_{ij}(t) \pm \frac{1}{2}\sum_{kl}\sum_{ij}a^{\dagger}_k a^{\dagger}_l v_{klji}|0\rangle c_{ij}(t)=i\hbar \sum_{ij}a^{\dagger}_i a^{\dagger}_j |0\rangle \dot{c}_{ij}(t)$$ I'd like to remove the arbitrary ket vectors in the whole expression to just obtain a simple expression for $c_{ij}(t)$
cualquier ayuda sería genial, gracias.
