Lineal en el mapa de $T:V\rightarrow W$ es una función de la satisfacción de:
- $T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2), \forall v_1,v_2\in V$
- $T(\alpha\cdot v_1)=\alpha\cdot T(v_1), \forall \alpha \in \mathbb F$
Yo estoy seguro de si me correcta aplicación de estas propiedades para polinomios sobre un campo. Podría alguien por favor verificar si mi procedimiento es correcto? Gracias.
Notación: $\mathbb R [t]_n$ denota el campo de polinomios de grado $\leq n$.
(a) $T: \mathbb R [t]_2 \rightarrow \mathbb R [t]_3, T(f(t))=t^2+f(t)$
Deje $v_1=f(t), v_2=g(t) \in \mathbb R [t]_2$. A continuación, tratamos de establecer las condiciones de ambos.
- $T(f(t)+g(t))=t^2+f(t)+g(t)=T(v_1)+g(t)$
Por lo tanto, nuestra primera condición de falla, y por lo tanto, (a) es no lineal en el mapa.
(b) $T: \mathbb R [t]_2 \rightarrow \mathbb R [t]_3, T(f(t))=tf(t)+t^2f'(t)$
Deje $v_1=f(t), v_2=g(t) \in \mathbb R [t]_2$. A continuación, tratamos de establecer las condiciones de ambos.
$T(f(t)+g(t))=t(f(t)+g(t))+t^2(f'(t)+g'(t))=tf(t)+tg(t)+t^2f'(t)+t^2g'(t)=(tf(t)+t^2f'(t))+(tg(t)+t^2g'(t))=T(v_1)+T(v_2)$
$T(\alpha f(t))=\alpha tf(t)+\alpha t^2f'(t)=\alpha (tf(t)+t^2f'(t))=\alpha T(v_1)$
Desde (b) cumple con ambas condiciones, es lineal en el mapa.
Mi confusión surge principalmente a partir de la primera derivada de la función en (b). ¿Hay algún proceso en particular que he dejado de hacer, o es mi solución bien?
