Voy a postear esta pregunta, ya que lo que yo he llegado sonidos retorcidos!
Compruebe si $g: S_3 \rightarrow \mathbb{Z}_2$ es un homomorfism, dado que $$g(id)=0,\ g(12)=1,\ g(13)=1,\ g(23)=1,\ g(123)=0,\ g(132)=0$$
Queremos comprobar si $g(s_1 \circ s_2) = g(s_1) + g(s_2)$ donde $s_1,s_2 \in S_3$.
Ya no puedo encontrar una selección de $s_1,s_2$ de manera tal que la igualdad anterior es no satisfecho, voy por una prueba positiva. También, desde la $\circ$ no es conmutativa, $30$ de los casos debe ser probado. Me decidí a probar a ver algunos patrones.
Observe que si al menos uno de entre $s_1,s_2$$id$, la igualdad es trivialmente satisfecho $$\text{lhs} = g(s_i \circ id) = g(s_i) = \text{rhs}$$
También, cada uno de transposición se asigna a $1$.
Por lo tanto los casos de la izquierda son: dos transposiciones, transposición y un 3-ciclo, de dos 3-ciclos.
He utilizado dos supuestos que no he de probar, pero que no parece cierto en $S_3$ (!):
- si usted componer dos transposiciones, a continuación, obtener el $id$ o permutación un 3-ciclo.
- si usted componer una transposición y un 3-ciclo obtendrás una transposición.
Ahora:
si $s_1,s2$ son dos transposiciones, a continuación, debido a (1.) en el lado izquierdo el argumento de $g$ es el $id$ o un 3-ciclo, ambos de los cuales se asignan a $0$; en el lado derecho vas a tener la suma de dos transposiciones, es decir,$1 + 1 \equiv_2 0$.
si $s_1, s_2$ son una transposición y un 3-ciclo, a continuación, debido a (2.) usted obtener una transposición, que $g$ mapas a $1$. En el lado derecho, usted tendrá un $1 + 0$.
si $s_1, s_2$ son tanto un 3-ciclo, usted tendrá la $id$ permutación en el lado izquierdo, y en la rhs $0 + 0$
Es eso correcto? Hace una aproximación más simple que existe?
