Momento magnético en la teoría de los cuatro fermiones

Question

Estoy tratando de calcular el momento magnético del neutrino en la teoría con este término adicional en el Lagrangiano: $\frac{a}{M^2}(\bar{\nu}\sigma_{\mu\nu}\nu)(\bar{e}\sigma^{\mu\nu}e)$ , donde $\sigma^{\mu\nu}=\frac{i}{2}[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}]$ . Esta es la interacción del neutrino con el electrón (para simplificar estoy considerando sólo los electrones y los neutrinos del electrón) Por lo que entiendo, debería calcular un vértice $\Gamma^{\mu}$ correspondiente a este diagrama.

Entonces debería dividirlo para obtener un término proporcional a $\frac{i\sigma^{\mu\nu}q_{\nu}}{2m}$ ( $q = \bar{p}-p$ ), que sería el momento magnético.

Pero no entiendo muy bien cómo escribir una integral para este diagrama. Estoy pensando en algo como esto ( $p$ para el neutrino, $\bar{p}$ para el antinutrino): $$\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\frac{\gamma_{\mu}}{\gamma (p+k)-m+i\epsilon}\frac{\sigma^{\mu\nu}}{\gamma (\bar{p}+k)-m+i\epsilon}$$ Sin embargo, no estoy seguro de los indicios superiores e inferiores, ya que en los casos habituales hay un propogador de bosones proporcional a $g_{\mu\nu}$ que proporciona la contracción correcta, pero no en este caso. Por otra parte, hay que contraer dos indicios porque $\Gamma^{\mu}$ tiene un índice superior.

P.D. Ya sé que la integral es divergente, pero sin embargo me gustaría saber cómo escribirla.

Answer 1

La regla de Feynman para este vértice de 4 fermiones es $\frac{ia}{M^2} (\sigma_{\mu\nu})_{ij} (\sigma^{\mu\nu})_{lm}$ , donde $i,j$ son los índices Spinor de los neutrinos, mientras que $l,m$ son los índices de espinor de los electrones. Se ve, que este vértice no tiene índices de Lorentz libres y cuatro índices de espinor libres, como debe ser.

Para la amplitud se encuentra

$$i\Gamma^\mu = i \frac{a}{M^2}\bar{u}(\bar p)\sigma_{\rho\lambda}u(p) \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} \frac{\text{Tr}\left[\sigma^{\rho\lambda}(\not p + \not k + m) \gamma^\mu (\bar{\not p}+ \not k + m)\right]}{((p+k)^2-m^2 + i\epsilon)((\bar p + k)^2 - m^2 + i\epsilon)}, $$ donde ahora hay que encontrar términos de la forma $\bar u(\bar p) \sigma_{\mu \nu} q^\nu u(p)$ porque el diagrama tiene un índice de Lorentz libre $\mu$ . El rastro aparece, porque tienes un bucle de fermiones cerrado.

Estoy seguro de que puedes resolver el resto por tu cuenta; si no, no dudes en hacer una pregunta de seguimiento.