Rango de una matriz de L.T. que no es uno

Question

Si tomamos una transformación lineal $T$ de $R^n$ a $R^n$ y suponer que no es uno-uno. ¿Podemos encontrar cuál es exactamente su rango?

Si es uno-uno, entonces $\ker T =\{0\}$ y la matriz del L.T. debe ser no singular y por tanto el rango será $n$ . Pero si no es uno-uno entonces el rango debe ser menor que $n$ . ¿Pero podemos obtener el rango exacto de la matriz de L.T.?

Answer 1

Debido al teorema de Rank-Nullity, sabemos que el rango dependerá de la nulidad de la transformación $T$ . Pero necesitamos más información sobre $T$ si la nulidad no se da explícitamente.

Answer 2

Sí, se puede. El núcleo de una transformación lineal mide lo lejos que está la transformación de ser inyectiva. Si $\ker{T}=\{0\}$ entonces es inyectiva, y a medida que aumenta la dimensión del núcleo, se vuelve cada vez menos inyectiva, es decir, tendrás más grados de libertad en las soluciones del sistema.

Se puede calcular la dimensión del núcleo de una transformación resolviendo el sistema $Ax=0$ donde $A$ es una matriz que representa su transformación lineal $T$ en una base. Como dos representaciones cualesquiera de una transformación lineal son conjugadas entre sí, es decir $B=P^{-1}AP$ para algunos $P$ (un cambio de base), no importa qué representación de $T$ que elijas. El espacio de soluciones para $Ax=0$ es su núcleo y la dimensión de este espacio es la dimensión del núcleo de $T$ .

Además, para los espacios vectoriales de dimensión finita, cuando $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ Si $\ker{T}=\{0\}$ entonces el teorema de nulidad de rango nos dice que el rango de $T$ es todo $\mathbb{R^n}$ (surjetividad de $T$ ) y en caso contrario, cuando $\ker{T} \neq \{0\}$ el rango no puede ser todo $\mathbb{R}^n$ (fallo en la subjetividad) porque $$\dim(\ker{T})+\dim(\mathrm{rank}{T})=n$$

Por lo tanto, su sistema no tendrá solución para algunos vectores $\vec{b} \in \mathbb{R}^n$ y cuánto falla (fallo en la subjetividad) en este caso particular, depende de nuevo del núcleo de $T$ .

Pero lo que he dicho antes (es decir, los dos primeros párrafos) es cierto sobre cualquier transformación lineal $T: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ .