El límite de esta secuencia recursiva: $x_{n+1}=\bigl(1-\frac{1}{2n}\bigr)x_{n}+\frac{1}{2n}x_{n-1}.$

Question

Considere la siguiente secuencia :

$x_{0}=a$ , $x_{1}=b$ , $x_{n+1}=\bigl(1-\frac{1}{2n}\bigr)x_{n}+\frac{1}{2n}x_{n-1}.$ Encontrar $\displaystyle \lim_{n\to \infty}x_{n}.$

Tengo que calcular $x_{2}$ , $x_{3}$ ,$x_{4}$ ,pero no pude encontrar ninguna relación entre cualquiera de dos días consecutivos de par. Pero me pareció que la suma de los coeficientes de $a$ & $b$ es igual a la del término en el denominador en cada una de las $x_{i}$.

Cómo podemos encontrar este límite...?

Answer 1

Sugerencia $$x_{n+1}-x_{n}=-\dfrac{1}{2n}(x_{n}-x_{n-1})$$ así $$x_{n+1}-x_{n}=(-1)^n\dfrac{1}{2^n\cdot n!}(x_{1}-x_{0})$$ así $$x_{n}-x_{0}=\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})$$ así $$\lim_{n\to\infty}x_{n}=a+\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{2^n\cdot n!}(b-a)=a+e^{-1/2}(b-a)$$