$\frac{d}{dx} \int_a^b f(x,t) dt =\int_a^b \frac{\partial}{\partial x}f(x,t)dt?$

Question

He estudiado Cálculo Avanzado por Fitzpatrick, que trata del así llamado Segundo Teorema Fundamental (la Diferenciación de Integrales), pero es cuando la parte superior o inferior de los límites de la integral es una función de $x$ y la diferenciación es en $x$. Pero la diferenciación del tipo en el título no es discutida y se utiliza en otro libro de texto sin una prueba; entonces, ¿qué es una prueba evidente de la ecuación de $$\dfrac{d}{dx} \int_a^b f(x,t) \ dt =\int_a^b \frac{\partial}{\partial x}f(x,t) \ dt?$$

Answer 1

Para una comportarse decentemente $\frac{\partial}{\partial x}f(x,t)$ ha $f(x,t)=f(x_0,t)+\int_{x_0}^x\frac{\partial}{\partial y}f(y,t)\ dy\ $ y por lo tanto $$\int_a^b f(x,t) \ dt=\int_a^b f(x_0,t) \ dt+\int_a^b\int_{x_0}^x\frac{\partial}{\partial y}f(y,t)\ dy\ dt=$$ $$=\int_a^b f(x_0,t) \ dt + \int_{x_0}^x\int_a^b\frac{\partial}{\partial y}f(y,t)\ dt\ dy$$ y $$\dfrac{d}{dx} \int_a^b f(x,t) \ dt=\dfrac{d}{dx}\int_{x_0}^x\int_a^b\frac{\partial}{\partial y}f(y,t)\ dt\ dy=\int_a^b \frac{\partial}{\partial y}f(y,t) \ dt$$

Answer 2

Una prueba de uso de algunos "teorema del límite" para el intercambio de integral y el límite. Probablemente en un curso con sólo Riemann integración se haría uso de la convergencia uniforme para que. Pero en un curso con Lebesgue integración se podría utilizar un tono monótono de convergencia o dominada de convergencia argumento. Aquí se marca con $\overset{*}{=}$ donde el teorema del límite debe ser utilizado.

\begin{align} \frac{d}{dx} \int_a^b f(x,t)\;dt &= \lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left(\int_a^b f(x+h,t)\;dt - \int_a^b f(x,t)\;dt\right) \\ &= \lim_{h\to 0}\int_a^b\frac{1}{h}\big( f(x+h,t) - f(x,t)\big)\;dt \\ &\overset{*}{=} \int_a^b\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\big( f(x+h,t) - f(x,t)\big)\;dt \\ &= \int_a^b \frac{\partial}{\partial x} f(x,t)\;dt \end{align}

El resto del argumento podría utilizar asumido propiedades de $f(x,t)$ con el fin de verificar las hipótesis del teorema del límite que desea usar en $\overset{*}{=}$.

Answer 3

Recordar Leibniz integral de la regla

$$\frac{d}{dt}\int_{\phi(t)}^{\psi(t)} f(t,s) ds = \int_{\phi(t)}^{\psi(t)} \frac{d}{dt}f(t,s) ds+f(t,\psi(t))\frac{d}{dt}\psi(t) -f(t,\phi(t))\frac{d}{dt}\phi(t)$$

Observe que si ${\displaystyle \psi(t)}$${\displaystyle \phi(t)} $son constantes en lugar de funciones de ${\displaystyle t} $, tenemos un caso especial de la regla de Leibniz:

$$\frac{d}{dt}\int_{a}^{b} f(t,s) ds = \int_{a}^{b} \frac{d}{dt}f(t,s) ds+f(t,b)\cdot 0 -f(t,a)\cdot0$$

$$\frac{d}{dt}\int_{a}^{b} f(t,s) ds = \int_{a}^{b} \frac{d}{dt}f(t,s) ds$$

La fórmula que se está buscando no es sino un caso especial de la regla de Leibniz.

Answer 4

"El Teorema Fundamental (la Diferenciación de Integrales), pero es cuando la parte superior o inferior de los límites de la integral es una función de x y la diferenciación está en x"

no podría contar como una prueba, pero sólo una observación pensé que podría ser útil,

cuando usted ha mencionado que los límites de la integral son una función de x, de sus límites, en este caso, ser tomada como : f1(x)=a y f2(x)=b en el que caso de que la prueba dada en el libro sería suficiente..