Probando el índice de un subgrupo

Question

Para el grupo $G=\{a+b\sqrt 2 \mid a,b\in\mathbb Z\},$ y el subgrupo $H=\{3m+2n\sqrt 2 \mid m,n \in\mathbb Z\},$ quiero demostrar que el índice de $H$ $G$ es de seis.

En este problema que tengo pensado que el cosets son de la forma $(3m)(2n), (3m)(2n), (3m+1)(2n), (3m+1)(2n+1), (3m+2)(2n), (3m+2)(2n+1)$

Y que actúan como $\mathbb Z_3 \times\mathbb Z_2$ y su cosets?

¿Cómo puedo proceder para probar que el índice es, de hecho, seis?

Answer 1

Definir un surjective homomorphism $h:G\to \mathbb Z_3×\mathbb Z_2$$h(a+b\sqrt2)=(a\pmod3,b\pmod2)$.

A continuación,$H=\operatorname{ker} h$.

Por el primer teorema de isomorfismo, $G/H\cong\mathbb Z_3×\mathbb Z_2$.

Por lo tanto $[G:H]=\mid G/H\mid=\mid\mathbb Z_3×\mathbb Z_2\mid=6$.