integrar

Question

PS

Entonces comencé con la división de$$\int \frac{x^4-16}{x^3+4x^2+8x}dx$ con$p(x)$ y obtuve:

PS

Usando la suma parcial que he recibido:

PS

¿Cómo sigo desde aquí?

Answer 1

¡Ya casi estás ahí! Tenga en cuenta que$$\frac{x}{x^2 + 4x + 8} =\frac{1}{2}\left( \frac{2x + 4 - 4}{x^2 + 4x + 8}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{2x + 4}{x^2 + 4x + 8}\right) - \frac{2}{x^2 + 4x + 8}$ $

Para que tengamos$$10\int\frac{x}{(x^2+4x+8)}dx +40\int \frac{1}{x^2+4x+8}dx = 5 \int \frac{2x + 4}{x^2 + 4x + 8} \, \mathrm{d}x + 20 \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2 + 4x + 8}$ $

que se convierten en una integral logarítmica y arctangente respectivamente.

Answer 2

$\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2+4x+8}dx$

¿Cómo puedo seguir desde aquí?

Observar que al escribir $$ x^2+4x+8=(x+2)^2+4 $$ y haciendo el cambio de variable $$ t=2(x+2), \quad dx=\frac12dt, \quad x^2+4x+8=4(t^2+1) $$ que se llevó a evaluar $$ \int \dfrac{1}{x^2+4x+8}dx=\frac18\int\frac1{t^2+1}dt $ $ , que es clásico.

$\displaystyle \int \dfrac{x}{x^2+4x+8}dx$

¿Cómo puedo seguir desde aquí?

Uno puede escribir $$ \int \dfrac{x}{x^2+4x+8}dx= \frac12\int \dfrac{2x+4}{x^2+4x+8}dx-2\int \dfrac{1}{x^2+4x+8}dx $$that is $$ \int \dfrac{x}{x^2+4x+8}dx=\frac12 \int \dfrac{(x^2+4x+8)'}{x^2+4x+8}dx-2\int \dfrac{1}{x^2+4x+8}dx $$ para concluir con la primera parte.

Answer 3

INSINUACIÓN:

Como y $x^2+4x+8=(x+2)^2+2^2$

para$\dfrac{d(x^2+4x+8)}{dx}=2(x+2)$ expresarlo como$\dfrac{Ax+B}{x^2+4x+8},$ $

Elija$$a\cdot\dfrac{2(x+2)}{x^2+4x+8}+b\cdot\dfrac1{(x+2)^2+2^2}$ para el segundo término