Hay muchos isomorfismos de$S^1$:$\hat{\Bbb Z}, \Bbb R/\Bbb Z, SO(2), SL(1,\Bbb C), \Bbb T^1, \Bbb R\cup \{\infty\},\Bbb R\Bbb P^1 $. Al ver su importancia, me gustaría ver una síntesis de los roles de$S^1$ en cada rama de las matemáticas detrás de los isomorfismos. Uno puede comenzar con algo como "como un isomorfismo con$X$", "$X$ es el único$Y$ con la propiedad$z$" y luego seguir las ideas.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Matt Dawdy
Puntos
5479
He aquí una breve lista de la parte superior de mi cabeza en ningún orden en particular:
Es un dualizing objeto localmente compacto abelian grupos (dualidad de Pontryagin), el establecimiento de un contravariante autoequivalence $\text{Hom}(-, S^1)$ que restringe a varios otros conocidos contravariante de equivalencias, por ejemplo, entre discreto y compacto abelian grupos, y entre torsión y profinite abelian grupos.
En topología algebraica, mapas del $S^1$ describir el grupo fundamental de la $\pi_1(-)$.
También en topología algebraica, de los mapas en $S^1$ describir la cohomology grupo $H^1(-, \mathbb{Z})$.
En teoría de la Mentira, $S^1$ es el más sencillo, compacto de Lie del grupo (es decir, conectado, y con dimensión positiva); finito de productos de copias de $S^1$ describir la máxima tori en compacto Mentira grupos.
En el análisis armónico, el estudio de su $L^2$ espacio da lugar a series de Fourier de funciones periódicas (este es también un aspecto de la dualidad de Pontryagin aunque muy diferente del aspecto descrito en 1).
