La mitad del espacio no es homeomorfo al espacio euclidiano.

Question

Definimos, medio espacio$H^n$ =$\{(x_1,x_2,...,x_n) | x_n \geq 0\}$. Alguien puede sugerir, cómo probar que$H^n$ no es homeomorfo para el espacio euclidiano$R^n$.

Answer 1

Aquí hay una prueba diferente de las de los comentarios.

Dejar $O=(0,\dotsc,0)$. Si$\mathbb{R^n}$ y$H^n$ fueran homeomorfos, entonces$\mathbb{R^n}\setminus\{O\}$ y$H^n\setminus\{O\}$ también serían homeomorfos. En particular, serían homotópicamente equivalentes. Pero$\mathbb{R}^n\setminus\{O\}$ es homotópicamente equivalente al$n-1$ - esfera$S^{n-1}$ mientras que$H^n\setminus\{O\}$ es contratable.