Encuentra la parte imaginaria de esta suma.

Question

Deja $$S = e^{i\alpha} + \frac{e^{i3\alpha}}{3} + \frac{e^{i5\alpha}}{3^2} + \cdots$$

Encontrar la Im$(S)$ y demostrar que es igual a la suma

$$I = \sin(\alpha) + \frac{\sin(3\alpha)}{3} + \frac{\sin(5\alpha)}{3^2} + \cdots$$

Así, me encontré con que $S = \frac{3(3e^{i\alpha} - e^{-i\alpha})}{10 - 6\cos(2\alpha)}$, usando la fórmula de series geométricas.

Tengo una respuesta de $\frac{6\sin(\alpha)}{5 - 3\cos(2\alpha)}$ que puedo ver que puedo conseguir si me acabo de tomar la $\sin(\alpha)$ términos de la $e$ términos en mi numerador; sin embargo, ¿por qué no voy a tener que cambiar el $\cos(2\alpha)$ término en el denominador? No es esto parte de la Re$(S)$? Yo estaba confundido acerca de su parte y estaba tratando de cambiar este término antes de que yo veía en la respuesta.

Answer 1

$$ S = e^{i\alpha} + \frac{e^{i3\alpha}}{3} + \frac{e^{i5\alpha}}{3^2} + \cdots = e^{i\alpha}\left(1 + \frac{e^{2i\alpha}}{3} + \frac {e^{2i\alpha})^2}{3^2}+ \cdots\right). $$ La cosa que está dentro del paréntesis es una serie geométrica con razón común $e^{2i\alpha}/3$. Por lo tanto la expresión anterior es igual a $$ \frac{e^{i\alpha}}{1-(e^{2i\alpha}/3)} = \frac{3e^{i\alpha}}{3-e^{2i\alpha}}. $$ Este es $$ \frac{3e^{i\alpha}(3-e^{-2i\alpha})}{(3-e^{2i\alpha})(3-e^{-2i\alpha})} = \frac{9e^{i\alfa}- 3e^{-i\alpha}}{9 - 3e^{2i\alfa} - 3e^{-2i\alpha} + 1} = \frac{6\cos\alpha + 12i\sin\alpha}{10 - 6\cos(2\alpha)}. $$

Que la parte imaginaria de este es igual a $i$ veces la suma de la siguiente manera a partir de dos hechos: (1) los términos de la suma son las piezas imaginarias de los términos de la primera suma; y (2) la parte imaginaria de la suma es igual a la suma de las piezas imaginarias.

Answer 2

$$ \begin{align} S &=e^{ia}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{e^{i2\alpha}}{3}\right)^k\\ &=\frac{3e^{i\alpha}}{3-e^{i2\alpha}}\cdot\frac{3-e^{-i2\alpha}}{3-e^{-i2\alpha}}\\ &=\frac{9e^{i\alpha}-3e^{-i\alpha}}{10-6\cos(2\alpha)}\\ &=\frac{6\cos(\alpha)+12i\sin(\alpha)}{10-6\cos(2\alpha)}\\ &=\color{red}{\frac{3\cos(\alpha)}{5-3\cos(2\alpha)}}+i\color{green}{\frac{6\sin(\alpha)}{5-3\cos(2\alpha)}} \end {align} $$ Por lo tanto, $$ \ mathrm {Im} (S) = \ color {green} {\ frac {6 \ sin (\ alpha)} {5-3 \ cos (2 \ alpha)}} $$ Dado que la parte imaginaria de$\color{blue}{\dfrac{e^{i(2k+1)\alpha}}{3^k}}$ es$\color{orange}{\dfrac{\sin((2k+1)\alpha)}{3^k}}$, obtenemos tu segunda suma $$ \begin{align} \mathrm{Im}(S) &=\mathrm{Im}\left(\sum_{k=0}^\infty\color{blue}{\frac{e^{i(2k+1)\alpha}}{3^k}}\right)\\ &=\sum_{k=0}^\infty\color{orange}{\frac{\sin((2k+1)\alpha)}{3^k}} \end {align} $$