¿Cómo diferentes productos internos dan diferentes ángulos?

Question

Sé que para cada producto interno$\langle , \rangle_{A}$ en$\mathbb{R}^n$, hay una matriz simétrica definida positiva asociada$A$, de modo que$\langle x,y \rangle = x^{T}Ay$. Me preguntaba si es posible encontrar una función que relacione los ángulos entre$x,y$ en$\mathbb{R}^n$ con el producto puntual, con el ángulo en otro espacio interno del producto.

Por ejemplo, una función$f(\theta,A)$, de modo que si$\theta$ es el producto de punto entre$x$ y$y$ en$\mathbb{R}^n$, entonces$f(\theta,A) = \langle x,y \rangle_A$

Answer 1

Generalmente no es posible hacerlo. Por ejemplo, considere el producto interno dado por $$ A = \ pmatrix {2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1} $$ Considere$x = (1,0,0)$ y$y = (0,1,0)$. Encontramos que$\langle x,y \rangle_A = x^TAy = 1$, por lo que$f(0,A) = 1$.

Por otro lado, si$x = (1,0,0)$ y$y = (0,0,1)$, encontramos que$\langle x,y \rangle = x^TAy = 0$, por lo que$f(0,A) = 0$.