Orden de mecha y ordenamiento radial en CFT

Question

No estoy tan familiarizado con las herramientas de cálculo de la teoría del campo conformal, y simplemente me encuentro con un ejercicio que me pide demostrar la siguiente fórmula (relacionada con el caso del campo bosónico):

PS

con$$\cal{R}j(z_1)j(z_2)~=~\frac{1}{(z_1-z_2)^2}~+~:j(z_1)j(z_2):$ definido como

PS

Mi pregunta es si debo iniciar el cálculo del término Wick ordenado y hacer que aparezcan los otros dos, porque a partir del lado izquierdo, no veo ¿cómo podría desarrollar un cálculo?

Answer 1

Aquí vamos a definir una estrategia para demostrar el buscado operador identidad $(4)$ a partir de las siguientes definiciones de lo que el colector y el orden normal de dos modo de operadores de $\alpha_m$ $\alpha_n$ significa:

$$ [\alpha_m, \alpha_n]~=~ \hbar m~\delta_{m+n}^0, \qquad\qquad(1)$$ $$ :\alpha_m \alpha_n:~=~\Theta(n-m) \alpha_m \alpha_n ~+~ \Theta(m-n) \alpha_n \alpha_m,\qquad\qquad(2) $$

donde $\Theta$ denotar la función escalón unitario.

1) tenga en cuenta que el actual $j(z)~=~j_{-}(z) + j_{+}(z)$ es una suma de una parte de la creación de $j_{-}(z)$ y una aniquilación parte $j_{+}(z)$.

2) Recordar que la radial orden de ${\cal R}$ se define como $${\cal R}(j(z)j(w)) ~=~\Theta(|z|-|w|) j(z)j(w)~+~ \Theta(|w|-|z|) j(w)j(z).\qquad\qquad(3)$$

3) Reescribir el buscado operador identidad como $$\cal{R}(j(z)j(w))~-~:j(z)j(w):~=~\frac{\hbar}{(z-w)^2}.\qquad\qquad(4)$$

4) Observe que cada uno de los tres términos en la ecuación. $(4)$ son invariantes bajo $z\leftrightarrow w$ simetría. Así que podemos suponer que a partir de ahora en ese $|z|<|w|$.

5) Muestran que $$j(w)j(z)~-~:j(z)j(w):~=~[j_{+}(w),j_{-}(z)].\qquad\qquad(5)$$

6) Mostrar (bajo el supuesto de $|z|<|w|$) que $$j(w)j(z)~-~R(j(z)j(w))~\stackrel{|z|<|w|}{=}~0.\qquad\qquad(6)$$

7) Restar eq. (6) a partir de la eq. (5):

$$\cal{R}(j(z)j(w))~-~:j(z)j(w):~\stackrel{|z|<|w|}{=}~[j_{+}(w),j_{-}(z)]. \qquad\qquad(7)$$

8) Evaluar hr. de eq. (7):

$$[j_{+}(w),j_{-}(z)]~=~\ldots~=~\frac{\hbar}{w^2} \sum_{n=1}^{\infty}n \left(\frac{z}{w}\right)^{n-1}~=~\ldots~=~ \frac{\hbar}{(z-w)^2}. \qquad\qquad(8) $$ En el último paso vamos a utilizar que la suma es convergente, bajo el supuesto de $|z|<|w|$.