En un potencial central esféricamente simétrico, ¿por qué buscamos las funciones propias del operador de momento angular?

Question

Al encontrar las soluciones de la ecuación de onda para un potencial esféricamente simétrico $V(r)$ buscamos las funciones propias de $\hat L^2$ y $\hat L_z$ operadores. Sin embargo, ¿cuál es el razonamiento detrás de esto? La ecuación de Schrodinger independiente del tiempo: $$\hat H \Psi = E \Psi$$

Esta es una ecuación de valores propios y cualquier función propia de $\hat H$ esta ecuación es obviamente una solución para esta ecuación. Ahora bien, cuando hay un potencial esféricamente simétrico $V(r)$ Entiendo que por la separación de variables podemos buscar soluciones de la forma $$\Psi (\vec r,\theta, \phi) = R(\vec r) Y(\theta, \phi)$$

Ahora para encontrar la parte angular por qué buscamos estados propios de $\hat L^2$ y $\hat L_z$ operadores (sé que se desplazan)?

Answer 1

Bueno, para decirlo brevemente, es porque $L^2$ y $L_z$ son dos observables que no tienen $r$ dependencia. Dado que los términos cinéticos de $H$ pueden escribirse como funciones de $r$ y $L^2$ y el potencial sólo depende de $r$ es evidente que el hamiltoniano conmuta con los momentos angulares. Por lo tanto, tiene sentido escribir $Y$ en términos de estos dos.

Pero si queremos profundizar un poco más, está un poco relacionado con la teoría de la representación. El hecho de que $L^2$ y $L_z$ forman una descripción completa de las rotaciones vectoriales (representan el álgebra de Lie $\mathfrak{so}(3)$ del grupo de Lie $\mathrm{SO}(3)$ ) y, por tanto, son la forma más natural de expresar la dependencia angular de un espacio invariante de la rotación en términos de funciones ortonormalizables.

Después de leer el comentario de @ZeroTheHero, pensé que sería instructivo proporcionar alguna intuición de por qué el momento angular no depende del radio. Recuerda la definición clásica

$$\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p$$

Demos entonces una estimación de $L$ . Supongamos que un átomo o algo tiene algún radio característico $R$ y el electrón se mueve con un momento característico $p$ . A continuación, estimamos

$$L\sim Rp$$ Pero la relación de Broigle nos da una estimación del momento en términos de la longitud característica

$$p\sim\frac{h}{R}$$

Dónde $h$ es la constante de Planck. Por lo tanto, nuestra estimación del momento angular asciende a

$$L\sim h,$$

Que no depende explícitamente de las longitudes características del sistema. Como tal, es razonable decir que no tiene $r$ dependencia, aunque no he dado una prueba rigurosa.

Answer 2

Uno de los objetivos de la mecánica cuántica es etiquetar completamente los estados del sistema. En algunos casos, la energía no es suficiente: por ejemplo, en el átomo de hidrógeno algunos niveles de energía se dan más de una vez; lo mismo ocurre en el oscilador armónico 3d. En estos casos, no basta con dar la energía para identificar completamente el estado, así que buscamos otros ``números cuánticos'' para afinar la identificación.

Por supuesto, uno preferiría etiquetar los estados con constantes de movimiento, ya que son constantes por lo que lo que llamamos estado $n\ell m$ al principio podemos utilizar el mismo nombre al final. De ahí la idea de utilizar un completa conjunto de operadores conmutantes -el hamiltoniano y otros que conmutan con él- para identificar unívocamente los estados cuánticos con las constantes de movimiento.

Por supuesto, cuando el potencial es esférico $V(r)$ lo que entra en la parte radial de la ecuación de Schrödinger es en realidad el efectivo potencial $$ V_{eff }=V(r)+\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\ell(\ell+1)}{r^2} \tag{1} $$ y así se ve que la ecuación radial de Schrödinger en realidad contiene explícitamente una parte de momento angular por lo que es bastante natural buscar funciones $\psi(r,\theta,\phi)$ que también son funciones propias $Y^\ell_m(\theta,\phi)$ de $\hat L^2$ ya que estos proporcionarán el factor extra correcto en la Ec.(1) al separar las variables. Como hay muchas funciones $Y^\ell_m(\theta,\phi)$ con el mismo $\hbar^2\ell(\ell+1)$ se utiliza el valor propio $\hbar m$ de $\hat L_z$ para distinguirlos.