¿Son las representaciones de $\text{SL}(2,\mathbb{C})$ ¿Indexado por un medio entero o por dos?

Question

Estoy muy confundido por esto. En el libro de Hall sobre la teoría de Lie, afirma que las representaciones de $\text{sl}(2,\mathbb{C})$ están indexados por un medio entero. Este es el resultado habitual para $\text{su}(2)$ en la mecánica cuántica no relativista. Este es el caso desde la complejización $\text{su}(2)_\mathbb{C}=\text{sl}(2,\mathbb{C})$ . Supongo entonces que para encontrar representaciones de $\text{SU}(2)$ uno está interesado en exponer representaciones de $\text{su}(2)_\mathbb{C}$ . En la teoría cuántica de campos, sin embargo, se afirma que las representaciones de $\text{sl}(2,\mathbb{C})$ están indexados por dos medios enteros. Creo que esto se debe a que $\text{sl}(2,\mathbb{C})$ se considera aquí como un álgebra de Lie real y, por tanto, tiene el doble de dimensión. ¿Cómo se relaciona esto con que ahora consideremos la doble cobertura $\text{SL}(2,\mathbb{C})$ del grupo propio de Lorentz ortocrónico $L_+^\uparrow$ en lugar de la doble tapa $\text{SU}(2)$ del grupo de rotación propio $\text{SO}(3)$ ?

Answer 1

1. El grupo de Lie $SL(2,\mathbb{C})$ , visto como un grupo complejo de Lie , ha representaciones irreducibles de dimensión compleja $2j+1$ clasificado por un solo medio entero $j\in\frac{1}{2}\mathbb{N}_0$ .

2. El grupo de Lie $SL(2,\mathbb{C})$ es la doble tapa del restringido Grupo de Lorentz $G:=SO^+(1,3;\mathbb{R})$ . Este último se considera naturalmente como un grupo de Lie real en la física.

3. Su complejización $G_{\mathbb{C}}=SO(1,3;\mathbb{C})$ tiene doble tapa $SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$ cuyas representaciones irreducibles están clasificadas por dos medios enteros (ya que ahora hay un producto de dos $SL(2,\mathbb{C})$ grupos). Véase, por ejemplo este & este Mensajes de Phys.SE.

4. Una representación de la complejización $G_{\mathbb{C}}$ también es un representación del grupo restringido de Lorentz $G$ . Por el contrario, cualquier representación físicamente relevante de $G$ se espera que, por razones físicas, sea una representación de $G_{\mathbb{C}}$ por la analiticidad.

Answer 2

En la teoría cuántica (y, por tanto, en la teoría de campo clásica que finalmente será físicamente relevante a través de la cuantización), sólo nos interesan las representaciones proyectivas del grupo de Lorentz ortocrónico $L_+^\uparrow$ en espacios vectoriales complejos. Equivalentemente, nos interesan las representaciones de la doble cobertura $\text{SL}(2,\mathbb{C})$ . Al tratarse de un grupo de Lie simplemente conexo, estos están en correspondencia uno a uno a través del mapa exponencial con las representaciones de su álgebra de Lie $\text{sl}(2,\mathbb{C})$ . Al proceder de un grupo de Lie, esta álgebra de Lie debe considerarse real. Por tanto, nos interesan las representaciones lineales reales de $\text{sl}(2,\mathbb{C})$ . Éstas tienen una correspondencia de uno a uno con las representaciones lineales complejas de la complejización $\text{sl}(2,\mathbb{C})_\mathbb{C}$ .

En efecto, si se tiene una representación lineal real $\pi:\mathfrak{g}\rightarrow\text{End}(V)$ una extensión de la complejización está disponible a través de $\tilde{\pi}:\mathfrak{g}_\mathbb{C}\rightarrow\text{End}(V):(X_1,X_2)\mapsto\pi(X_1)+i\pi(X_2)$ . Por otro lado, una representación lineal compleja $\tilde{\pi}:\mathfrak{g}_\mathbb{C}\rightarrow\text{End}(V)$ induce una lineal real $\pi:\mathfrak{g}\rightarrow\text{End}(V):X\mapsto\tilde{\pi}(X,0)$ .