Demostrar que $(y_n)\in l^q$

Question

El problema que intento resolver es:

Dejemos que $1\leq p, q\leq\infty$ tal que $\frac{1}{q}+\frac{1}{p}=1$ . Si $$\sum_{n=1}^{\infty} |x_n||y_n|<\infty$$ para todos $(x_n)\in l^p$ entonces $(y_n)\in l^q$ .

$\bullet$ Si $p=\infty$ , y luego elegir $(x_n)=(1,1,1,...)\in l^\infty$ tenemos $$\sum_{n=1}^{\infty} |y_n|<\infty$$ es decir $(y_n)\in l^1$ .

pero cómo puedo probar para $1\leq p<\infty$ ?

Answer 1

Dejemos que $x=(x_n)$ y definir $\phi_j:l^p\to\mathbb{R}$ por $$\phi_j(x)=\sum_{n=1}^{j}x_ny_n.$$ Tenga en cuenta que $\phi_j\in (l^p)'$ para todos $j\in\mathbb{N}$ .

Por hipótesis, está bien definido el funcional $\phi:l^p\to\mathbb{R}$ por $$\phi(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x_ny_n\hspace{2cm}(1)$$

Como $\lim_{j\to\infty}\phi_j(x)=\phi(x)$ para todos $x\in l^p$ utilizando el Principio de Limitación Uniforme, podemos concluir que $$\phi\in (l^p)'$$ Ahora, como $(l^p)'=l^q$ sabemos que hay un $(z_n)\in l^q$ tal que $$\phi(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x_n z_n\hspace{2cm}(2)$$

Por $(1)$ y $(2)$ concluimos que $(y_n)=(z_n)\in l^q$ .