Condiciones suficientes sobre el isomorfismo de dos grupos.

Question

Deje $G_1, G_2$ dos grupos con al menos una trivial adecuada de cada subgrupo.

Deje $S_1, S_2$ ser los conjuntos de adecuada subgrupos de, respectivamente, $G_1, G_2$.

Supongamos que existe un bijective función de $f: S_1 \rightarrow S_2$ tal que $\forall A\in S_1, f(A)$ es isomorfo a $A$.

Cuando puedo a la conclusión de que $G_1, G_2$ son isomorfos?

Creo que, si $G_1$ e $G_2$ son finitos y abelian podemos concluir que son isomorfos, pero no puedo demostrarlo. Por otra parte, todavía no he encontrado ningún contraejemplo para nonabelian grupos finitos.

Answer 1

Hay dos pares de ejemplos de orden de $16$. Estos son los más pequeños ejemplos. Uno de estos dos pares de es $C_4\times C_4$ e $C_4\rtimes C_4$. Para ambos, la lista completa de debida subgrupos es:

• 1 subgrupo trivial

• 3 subgrupos isomorfo a $C_2$

• 6 subgrupos isomorfo a $C_4$

• 1 subgrupo isomorfo a $C_2\times C_2$

• 3 subgrupos isomorfo a $C_4\times C_2$

(Ver https://groupprops.subwiki.org/wiki/Nontrivial_semidirect_product_of_Z4_and_Z4#Subgroups para los subgrupos de $C_4\rtimes C_4$.)

Otro par de ejemplos es $C_9\times C_3$ e $C_9\rtimes C_3$.

(Es definitivamente cierto para finito abelian a los grupos, esta es una sencilla consecuencia de su clasificación.)

Answer 2

Ciertamente, no siempre. Me sorprendería si un concreto conjunto de condiciones que es a la vez necesaria y suficiente para la conclusión de isomorfismo entre los dos grupos. (Mi respuesta se refiere a grupos finitos.)

Hay grupos que se denominan $P$-grupos en Schmidt libro "Subgrupo Celosías de los Grupos" (no ser confundido con $p$-grupos) y que son de celosía-isomorfo a primaria abelian grupos.

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Añadido para mayor claridad:

Answer 3

Aquí está la prueba en el caso de finito abelian grupos $G_1, G_2$ anterior.

Lema 1 Deje $G^{(n)}$ el número de elementos en $G$ orden $n$. $G^{(n)}$ está determinada únicamente por el número de subgrupos de $G$ orden $n$.

Prueba Cada elemento de orden $n$ es un elemento de exactamente un subgrupo cíclico de $G$ orden $n$. Todos los subgrupos cíclicos de orden $n$ ha $\phi(n)$ elementos de orden $n$.

Lema 2 Deje $p$ ser un primo que divide a $|G|$ la $G^{(p)}, G^{(p^2)},...$ únicamente determinan el p-Sylow de $G$.

Prueba El p-Sylow, P, de G es de la forma $\mathbb{Z}_{p^{a_1}} \times ... \times \mathbb{Z}_{p^{a_n}}$. Por otra parte, vamos a $P^{(\leq p^k)}$ el número de elementos de P que tiene una orden menor o igual a $p^k$. $$ P^{(\leq p^k)}=\Pi_{i\leq n}{\min (p^{a_i}, p^k)}$$ Entonces podemos determinar $a_1,...,a_n$.

A continuación, la tesis de la siguiente manera fácilmente.