Por qué la convolución está bien definida (ejemplo simple)

Question

Estoy teniendo problemas para entender el porqué de la convolución es bien definido.

Tomemos un ejemplo sencillo:

$(\Omega, \mathcal{F}, P)$ probabilidad de espacio y $X_{1}, X_{2}$ dos variables aleatorias donde $P(X_{1}=3)=\frac{1}{2},P(X_{2}=2)=\frac{1}{4}$

Y $P(X_{1}=1)=\frac{1}{5},P(X_{2}=4)=\frac{1}{3}$

Entonces mi comprensión de la convolución es

$P_{X_{1}+X_{2}}\circ A^{-1}$ donde $A: X_{1} \times X_{2}\to \mathbb R,A(x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}$

Así que seguramente, si, por ejemplo, $X_{1}+X_{2}=5$, me da más de una preimagen, y por lo tanto, ¿cómo puede convolución ser bien definida?

En el caso anterior, me gustaría conseguir:

$P_{X_{1}+X_{2}}\circ A^{-1}(5)=P_{X_{1}}(3)P_{X_{2}}(2)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$ , mientras que

$P_{X_{1}+X_{2}}\circ A^{-1}(5)=P_{X_{1}}(1)P_{X_{2}}(4)=\frac{1}{5}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{15}$

No sé a dónde voy mal en mi comprensión de la convolución. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Si $P$ denota la probabilidad de medir en $(\Omega,\mathcal F)$ a continuación, se induce para cada variable aleatoria $Z$ probabilidad de medida $P_Z$ a $(\mathbb R,\mathcal B)$ que es prescrito por:$$B\mapsto P(\{\omega\in\Omega\mid Z(\omega)\in B\})=P(\{Z\in B\})=P(Z\in B)$$

Aquí $\{Z\in B\}$ abrevia $\{\omega\in\Omega\mid Z(\omega)\in B\}$ e $P(Z\in B)$ abrevia $P(\{Z\in B\})$

Así que tenemos $P_Z(B)=P(\{Z\in B\}$ para los subconjuntos de Borel $\mathbb R$.

Otra notación de esta probabilidad es $PZ^{-1}$ prescrito por:$$B\mapsto P(Z^{-1}(B))=P(\{\omega\in\Omega\mid Z(\omega)\in B\})=P(\{Z\in B\})=P(Z\in B)$$

Observar que $P_Z$ e $PZ^{-1}$ son notaciones para la misma medida.

También aleatorios vectoriales $(X_1,X_2)$ induce una medida de probabilidad.

Esta vez denota como $P_{(X_1,X_2)}$ , y se definen en $(\mathbb R^2,\mathcal B^2)$.

Si $A:\mathbb R^2\to\mathbb R$ es prescrito por $(x,y)\mapsto x+y$ entonces $A$ es Borel medible de la función.

Esto significa que puede ser visto como una variable aleatoria en el espacio de $(\mathbb R^2,\mathcal B^2,P_{(X_1,X_2)})$.

Aplicando el principio de que fue mencionada en el espacio $(\mathbb R^2,\mathcal B,P_{(X_1,X_2)})$ hemos medida $P_{(X_1,X_2)}A^{-1}$ a $(\mathbb R,\mathcal B)$ y no es difícil deducir que:$$P_{X_1+X_2}=P_{A\circ(X_1,X_2)}=P_{(X_1,X_2)}A^{-1}$$

En su pregunta usted mezcla las dos notaciones, y esto puede ser una fuente de confusión en su propio.

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Si $X_1,X_2$ son variables aleatorias, entonces también lo es $X_1+X_2$.

Este, por ejemplo, con:$$P_{X_1+X_2}(\{5\})=P(X_1+X_2\in\{5\})=P(X_1+X_2=5)$$

Si por otra parte $X_1,X_2$ sólo tomar enteros como valor, entonces esto puede ser ampliado a:$$\cdots=\sum_{n,m\in\mathbb Z\wedge n+m=5}P(X_1=n\wedge X_2=m)$$

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