Demostrar el conjunto de puntos donde $f$ es diferenciable es denso.

Question

Dejemos que $I\subset \Bbb{R}$ sea un intervalo abierto y consideremos una función continua $f:I\to \Bbb{R}$ satisfactorio, para todos $x\in I$ $$\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h}=0$$ Demostrar que el conjunto de puntos en los que $f$ es diferenciable es denso en $I$ .

Sé que $$\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}=f''(x)$$ cuando $f''(x)$ existe, pero parece que no sirve aquí.

Answer 1

Para mostrar el conjunto de puntos en los que $f$ es diferenciable es denso, necesitamos demostrar que un subintervalo abierto arbitrario de $I$ contiene un punto donde $f$ es diferenciable. Restringimos nuestra atención a cualquier intervalo abierto en $I$ , digamos que $(a,b)$ .

Sabemos que $f$ al ser continua, alcanza un máximo en $[a,b]$ . Por lo tanto, o bien alcanza un máximo en $(a,b)$ , digamos que en $x_0$ o en uno de los puntos finales (así $f(a)$ o $f(b)$ son mayores que $f(x)$ para $x \in (a,b)$ ). Supongamos que el mxmínimo está en $x_0$ contenida en $(a,b)$ . Si observamos su límite en este máximo, vemos que es no positivo ( $\leq 0$ ), y puede ser $0$ sólo si $f$ es "constante" cerca de $x_0$ lo que implica que es diferenciable. Más rigurosamente:

$\forall \epsilon>0 \ \ \exists \ \ \delta>0$ tal que $2f(x_0)-f(x_0+h)-f(x_0-h)<\epsilon |h|$ siempre que $|h|<\delta$ . Esto da trivialmente $f(x_0)-f(x_0+h)<\epsilon |h|$ (ya que la otra parte restante es no negativa, $x_0$ siendo un máximo) siempre que $|h|<\delta$ , lo que implica $f$ diferenciable en $x_0$ con la derivada $0$ .

Si por el contrario, nuestro máximo está en uno de los puntos finales, entonces haz lo siguiente. Tratar de sub-restringir $f$ a un intervalo menor $(c,d) \in (a,b)$ . Si, para todas esas restricciones, el máximo está en uno de los puntos finales, entonces $f$ es monótona en $(a,b)$ y diferenciable en casi todas partes en $(a,b)$ ( Monótona+continua pero no diferenciable ). Si no es así, se aplica el argumento anterior, y hemos terminado.