Sea$F \subset \mathbb{R}^n$ un conjunto cerrado no contable o finito no vacío. Demostrar que$F$ debe tener un punto aislado.

Question

Traté de pensar en el problema usando la contradicción de que si $F$ no tiene un punto aislado (es decir, $F$ solo contiene puntos límite), entonces $F$ no es contable. Pero luego me quedé atrapado en cómo probar que $F$ es incontable. ¿Alguien puede proporcionar un método para probar esta proposición?

Answer 1

Suponga que $F$ es un conjunto cerrado sin ningún punto aislado.

Elija cualquier $x_0 \in F$, ya que no es un punto aislado podemos encontrar una bola de $B_0$ centrado en $x_0$ , de modo que $B_0$ contiene al menos $2$ distintos puntos distintos de $x_0$ sí, vamos a llamarlos $x_{00}$ e $x_{01}$. Deje $B_{00}$ e $B_{01}$ ser disjuntas bola centrada en $x_{00}$ e $x_{01}$ respectivamente, cada uno con radio de menos de la mitad de $B_0$.

Hacemos lo mismo para $x_{00}$ e $x_{01}$ encontrar distintos puntos de $x_{000}, x_{001}, x_{010}$ e $x_{011}$ con sus respectivas bolas disjuntas. De manera más general, para cualquier (finito) binario índice $\alpha=a_1a_2\dots a_n$, podemos encontrar $x_{\alpha 0}$ e $x_{\alpha 1}$ en $B_\alpha$, y dos bolas disjuntas $B_{\alpha 0}$ e $B_{\alpha 1}$ centrado en estos puntos, cada uno con radio de menos de la mitad del radio de la $B_\alpha$.

Cada secuencia $x_{a_1}, x_{a_1 a_2}, x_{a_1 a_2 a_3}, \dots$ es convergente (ya que el radio de $B_{a_1}, B_{a_1 a_2}, B_{a_1 a_2 a_3}, \dots$ va a la $0$), y por lo tanto determina un único punto en $F$ porque $F$ es cerrado. La singularidad viene del hecho de que elegimos las bolas $B_{\alpha 0}$ e $B_{\alpha 1}$ a ser distinto.

Hay muchas de estas secuencias como el número de todos los dígitos binarios (comenzando con $0$), es decir, tantos como el número de elementos del conjunto $$S=\{ (a_1, a_2, a_3, \dots) : a_i\in\{0,1\}\ \}.$$ Es bien sabido que $S$ es incalculable, puesto que hay un bijection entre $S$ y la unidad de intervalo de $[0,1]$. La idea es escribir cada elemento en $[0, 1]$ como dígitos binarios.

Answer 2

Dotar a $F$ con la inducida por la métrica. Es completa. Supongamos que no existe un punto aislado. Escribir $F=\{x_1,...,x_n,....\}$. Deje $U_n$ ser el subespacio complementario de $\{x_1,....,x_n\}$. Es denso en $F$ ya que no existe punto aislado. Baire teorema implica la intersección $\cap U_n$ es denso en $F$. Contradicción. Ya está vacía.