$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\arctan{\frac{2}{n^2+n+4}}$

Question

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\arctan{\frac{2}{n^2+n+4}}$$

Sabemos que : $\arctan{x} - \arctan{y} = \arctan{\frac{x-y}{1+xy}}$ por cada $ xy > 1 $

Necesito encontrar dos números que satisfacen: $ab = n^2+2n+3 $ e $ a-b =2$ a fin de telescopio.

Edit: lo siento mucho en el denominador debería haber sido $n^2+n+4$ no $n^2+2n+4$

Del mismo modo aquí :

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\arctan{\frac{8n}{n^4-2n^2+5}}$$

El resultado debe ser $ \arctan 2 $ en el primero y $ \pi/2 + \arctan2 $ en el segundo.

Answer 1

Insinuación:

PS

PS

Answer 2

$$ \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ arctan {\ frac {2} {n ^ 2 + n +4}} = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ arctan {\ frac {2 (n +1) -2n} {n (n +1) (1+ \ frac {4} {n (n +1)})}} = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ arctan {\ frac {\ frac {2} {n} - \ frac {2} {n +1}} {1+ \ frac {2} {n} \ cdot \ frac {2} { n +1}}} = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ arctan {\ frac {2} {n} - \ arctan {\ frac {2} {n +1}}} = \ arctan2 $$