Series infinitas con$2$ positivo y$2$ términos negativos

Question

Encontrar valor de $$1+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{17}-\frac{1}{19}-\frac{1}{23}+\cdots$ $

Probar: He resuelto en utilizar la integración.

Pero estoy tratando de solucionarlo sin usar integración

Ejecución de series anteriores como $$\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n\bigg[\frac{1}{6n+1}+\frac{1}{6n+5}\bigg]$ $

Ahora estoy tratando de resolverlo usando la fórmula de reflexión de Euler

No pude encontrar ninguna pista

¿Podría algún ayudarme a resolverlo?

Answer 1

$$1+\frac15-\frac17-\frac1{11}+\frac1{13}+\frac1{17}-\frac1{19}-\frac1{23}+\cdots=\frac{\pi}3$$

La utilización de la observación realizada por Mohammad Zuhair Khan podemos explícitamente escribir la serie como

$$1+\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left[\frac1{6n+1}-\frac1{6n-1}\right]=1-2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{36n^2-1}$$

La última forma puede escribirse de tal manera que podamos aplicar una suma de identidad de la función cosecante. Para ser precisos vamos a utilizar la fórmula

$$\pi\csc(\pi z)=z\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^n }{z^2-n^2}=\frac1z-2z\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2-z^2}$$

Por lo tanto, permite reescribir la serie determinada de la siguiente manera

$$\begin{align} 1-2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{36n^2-1}&=1+\frac16\left[-2\frac16\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2-\left(\frac16\right)^2}\right]\\ &=1+\frac16\left[\pi\csc\left(\frac\pi6\right)-6\right]\\ &=\frac\pi6\csc\left(\frac\pi6\right) \end{align}$$

$$\therefore~1-2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{36n^2-1}=\frac\pi3$$