Demostrar que 0 está en el casco convexo de los puntos elegidos de cada orto.

Question

Si podemos elegir arbitrariamente un punto de cada orthant en $\mathbb{R}^n$, es decir que se elija $2^n$ total de puntos que, ¿cómo podemos probar que 0 está en el casco convexo de estos $2^n$ puntos? Parece obvio, pero cuando me siento abajo y empezar a pensar en ello, no podía sin duda encontrará una serie de $\lambda_i, i = 1,2,\cdots,2^n$ tal que $0 \leq \lambda_i \leq 1, \sum_i \lambda_i = 1$ e $0 = \sum_i \lambda_i x_i$, donde $x_i, i = 1,2,\cdots,2^n$ son cualquier conjunto de puntos que satisface la condición.

Answer 1

Introducir en la dimensión.

En el $n=1$ caso base, usted tiene un número positivo y un número negativo; $0$ puede ser representado como una combinación convexa de ellos.

Para $n>1$: Dada su $2^n$ puntos, uno de cada orthant, las dividimos en 2 grupos de tamaño $2^{n-1}$, donde el primer conjunto de puntos cuya última coordenadas son positivas y el segundo set en el que el último coordenadas son negativas. Por la hipótesis inductiva no es un convexo combinado del primer conjunto de puntos tales que la primera $n-1$ coordenadas de desaparecer, y lo mismo para el segundo set. La última de las coordenadas de estos dos convexo combos son positivos y negativos, así que hay un convexo combo de ellos es cero.

Answer 2

Tomar en pares de los puntos que difieren en el signo de la coordenada $n$ (y sólo un) y la forma de las combinaciones convexas de tal manera que la coordenada se cancela.

Ahora usted tiene $2^{n-1}$ puntos en cada orthants de la disminución del espacio.

Los resultados se sostiene porque la combinación convexa de las combinaciones lineales es una combinación convexa.