"Leche" la integral$\int_0^\infty\left(\frac{x^2}{x^4+2ax^2+1}\right)^r\frac{x^2+1}{x^2(x^s+1)}\mathrm dx$

Question

He encontrado la siguiente integral en el capítulo $13$ de Irresistible Integrales, y me gustaría ver qué conclusiones se puede llegar a partir de ella. Mi meta en esta pregunta es para ver qué métodos puedo utilizar en el futuro para generalizar/"leche" cool integrales como este. Tengo que admitir que este post es muy similar a la original "Integral de Microfonía" post, pero ya que este post es sobre un específico integral, no es un duplicado. \begin{align} \int_0^\infty\left(\frac{x^2}{x^4+2ax^2+1}\right)^r\frac{x^2+1}{x^2(x^s+1)}\mathrm dx&= \int_0^1\left(\frac{x^2}{x^4+2ax^2+1}\right)^r\frac{x^2+1}{x^2}\mathrm dx\\ &=\frac12\int_0^\infty\left(\frac{x^2}{x^4+2ax^2+1}\right)^r\frac{x^2+1}{x^2}\mathrm dx\\ &=\int_0^\infty\left(\frac{x^2}{x^4+2ax^2+1}\right)^r\mathrm dx\\ &=\sqrt{\frac{\pi(a+1)}{2}}\frac{\Gamma(r-\frac12)}{(2a+2)^r\Gamma(r)} ,\end{align} Lo que funciona para $r>\frac12$ y todo(?) $s$, ya que como muestran los autores, la integral es independiente de la $s$.

Esta pregunta no estaría completa sin mis intentos:

Establecimiento $a=1$, tenemos $$\int_0^\infty\left(\frac{x}{x^2+1}\right)^{2r}\mathrm dx=\frac{\sqrt{\pi}\,\Gamma(r-\frac12)}{2^{2r}\Gamma(r)}.$$ Tomando $\frac{d}{dr}$ en ambos lados, $$\int_0^\infty\left(\frac{x}{x^2+1}\right)^{2r}\log\left(\frac{x}{x^2+1}\right)\mathrm dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{d}{dr}\frac{\Gamma(r-\frac12)}{2^{2r}\Gamma(r)}.$$ Y se puede demostrar, en forma similar, los, que $$\int_0^\infty\left(\frac{x}{x^2+1}\right)^{2r}\log^n\left[\frac{x}{x^2+1}\right]\frac{\mathrm dx}{(x^2+1)^2}=\frac{\sqrt\pi}{2^{n+4}}\left(\frac{d}{dr}\right)^n\frac{\Gamma(r+\frac32)}{4^r\Gamma(r+2)}.$$ Por desgracia, me siento como si mi creatividad así, se ha secado, y me gustaría ver lo que se puede obtener de esta integral. Divertirse!

Edit: Contexto

Los autores de Irresistible Integrales llamado a este integrante de una "Fórmula magistral" porque aparentemente podría producir una gran cantidad de identidades. Me gustaría ver que las identidades que pueden derivarse de dicha integral.

Answer 1

En primer lugar me gustaría dar algunos pasos y tal vez algo más de conocimiento de esta integral.$$I=\int_0^1\left(\frac{x^2}{x^4+2ax^2+1}\right)^r\frac{x^2+1}{x^2(x^s+1)}\mathrm dx+\int_1^\infty\left(\frac{x^2}{x^4+2ax^2+1}\right)^r\frac{x^2+1}{x^2(x^s+1)}\mathrm dx$$ Con $x\rightarrow \frac{1}{x}$ en la segunda, se obtiene: $$\int_1^\infty\left(\frac{x^2}{x^4+2ax^2+1}\right)^r\frac{x^2+1}{x^2(x^s+1)}\mathrm dx=\int_0^1 \left(\frac{x^2}{x^4+2ax^2+1}\right)^r\frac{x^2+1}{x^2\left(\frac{1}{x^s}+1\right)}\mathrm dx$$ Ahora bien, si añadimos con la primera parte de la integral que se splited uso: $\displaystyle{\frac{1}{x^s+1}+\frac{1}{\frac{1}{x^s}+1}=1}\,$ que es la forma en que el $s$ no afecta a nuestra integral. De todos modos tenemos, de hecho, agregando : $$I=\int_0^1\left(\frac{x^2}{x^4+2ax^2+1}\right)^r\frac{x^2+1}{x^2}dx$$ De nuevo a través de $x\rightarrow \frac{1}{x}$ obtenemos: $$I=\int_1^\infty\left(\frac{x^2}{x^4+2ax^2+1}\right)^r\frac{x^2+1}{x^2}dx$$ $$\Rightarrow I=\frac12\int_0^\infty \left(\frac{x^2}{x^4+2ax^2+1}\right)^r\frac{x^2+1}{x^2}dx=\frac12 \int_{-\infty}^\infty \left(\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^2}+2a}\right)^r\left(1+\frac{1}{x^2}\right)dx$$ Y ahora por escrito $\displaystyle{x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2}$ y hacer una $x-\frac{1}{x}=t$ obtenemos: $$I=\frac12 \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(t^2+2(a+1))^r}dx$$ By letting $t=x\sqrt{2(a+1)}$ obtenemos más fácil el uso de beta en función de los resultados.

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Pero la sustitución de $x-\frac{1}{x}$ nos recuerda de Glasser Maestro del teorema. Por supuesto, en orden a la leche se le puede tomar el original de la integral y de aplicar este teorema cuántas veces queremos. $$I=\frac12 \int_{-\infty}^\infty\left(\frac{x^2}{x^4+2ax^2+1}\right)^r\frac{x^2+1}{x^2(x^s+1)}\mathrm dx= \frac12 \int_{-\infty}^\infty \left(\frac{x^6-2x^4+x^2}{x^8+2ax^6-4x^6-4ax^4+7x^4+2ax^2-4x^2+1}\right)^r \frac{x^4-x^2+1}{(x^2-1)^2}dx$$ Donde he utilizado $x\rightarrow x-\frac{1}{x}$ e $s=0$. Por supuesto que puede decir y de la forma más simple el uso de $\int_{-\infty}^\infty f(x)dx=\int_{-\infty}^\infty f(x-\cot x)dx$ para obtener :$$I=\frac12 \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(x^2+2(a+1))^r}dx=\frac12 \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{((x-\cot x)^2+2(a+1))^r}dx$$ And by setting $un+1=\frac12$ and $r=2$ to get: $$\int_0^\infty \frac{1}{((x-\cot x)^2 +1)^2}dx=\sqrt 2 \pi$$ Por supuesto, uno puede hacer la misma cosa cuando no es $x^4$ en el denominador, pero eso es muy evilish $\smile$.

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O otra cosa sería dejar que $x^2=t$ fin de obtener algunas de Mellin transforma, por ejemplo: $$I=\frac12\int_0^\infty x^{r-1} \frac{1}{(x^2+2ax+1)^r}\left(\sqrt x+\frac{1}{\sqrt x}\right)dx$$

También los dos teoremas podría también hacer un poco de leche con esta integral: la transformada de Laplace de la propiedad y el teorema de Plancherel. Y tal vez voy a añadir otro tiempo, otras ideas.

Answer 2

Esto no es una respuesta, sólo una pausa para pensar en su pregunta:

De matemáticas. La operación, Integrar w.r.t $a$, $n$ veces en forma consecutiva $$\frac{ \Gamma \left(r-\frac{1}{2}\right) } {2^r\, \Gamma (r)} \sqrt{\frac{\pi }{2}}\int_n...\int (a+1)^{1-r} \, da^n=\frac{ \Gamma \left(r-\frac{1}{2}\right) } {2^r\, \Gamma (r)} \sqrt{\frac{\pi }{2}}\left( \frac{ (a+1)^{1+n-r} }{(1-r+1)(2-r+1)...(n-r+1)}\right)$$

De matemáticas. Operación B, Diferenciar w.r.t $a$, $n$veces $$\frac{ \Gamma \left(r-\frac{1}{2}\right) } {2^r\, \Gamma (r)} \sqrt{\frac{\pi }{2}}\,\left(\frac{d}{da}\right)^n (a+1)^{1-r} =\frac{ \Gamma \left(r-\frac{1}{2}\right) } {2^r\, \Gamma (r)} \sqrt{\frac{\pi }{2}} \left( -(1-r-1) (1-r-2)...(1-r-n) \,(a+1)^{1-n-r} \right)$$

De matemáticas. Operación C, Diferenciar w.r.t $r$, $n$ veces como usted ha indicado en su ejemplo

Integrando con respecto a $r$ no parece ser posible (al menos para mí).

Así que tengo un par de pensamientos para usted, mientras que su creatividad bien recargas: a Partir de $n=1$, son todas las permutaciones de las repetidas operaciones elementales 1,2 y 3 posibles y no importa en qué orden deseado operaciones matemáticas se aplican? Hay otras posibilidades?