$f_n$ converge uniformemente a$f$ y luego$\mathrm{d}f_n(x_n)$ converge a$\mathrm{d}f(x)$

Question

Deje $f_n : \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}$ tal que el $f_n$ se $C^1$ y de tal manera que la secuencia de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformemente a una función $f : \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}$ que es $C^1$. Demostrar que para todos los $x \in \mathbb{R}^n$ hay una secuencia $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ que convergen a $x$ tal que $\mathrm{d}f_n(x_n)$ converge a $\mathrm{d}f(x)$.

Debo decir que no sé del todo cómo hacerlo y no tienen ninguna intuición de lo que realmente está pasando aquí. Así, podemos fijarnos en el caso qhere $p= 1$.

Así que podemos escribir :

$$f(a+h) = f(a)+ f'(a)h +o(h)$$ $$\forall n \in \mathbb{N}, f_n(a+h) = f_n(a) + f'_n(a)h +o(h)$$

Por lo tanto tenemos :

$$\mid f'(a)h - f'_n(a)h \mid \leq \mid f(a+h)-f(a) \mid +\mid f(a)-f_n(a) \mid + \mid o(h) \mid$$

Ya que la función $f_n$ convergen uniformemente a $f$, tenemos : $$\mid f'(a)h - f'_{\infty}(a) \mid \leq \mid o(h) \mid$$ Y ahora, utilizando dejamos $h \to 0$ por lo que :

$$\mid f'(a) -f_\infty'(a) \mid = 0 $$

No sé si esto funciona, pero se siente extraño para mí, ya que en el caso de que la secuencia de $x_n$ es simplemente la constante de secuencia... y por otra parte, si esto es correcto, no veo en absoluto cómo generalizar a dimensiones superiores.

Gracias !

Answer 1

Primero vamos a probar el resultado en el caso donde hay un máximo local. En un máximo, la diferencia se desvanece, por lo que la demanda está aquí:

Lema. Si $(g_n)_n$ es una secuencia de $C^1$ funciones $\mathbb{R}^p\to \mathbb{R}$ convergen uniformemente a una $C^1$ función de $g$ tener un local (estricto) de la máxima en $y$, que es $g(x)<g(y)$ para todos los $x\neq y$ un balón en el vecindario $B(y,r)$ de $y$, entonces existe una secuencia $x_n$ tal que $\lim x_n=y$ e $dg_n(x_n)=0$ para suficientemente grande $n$.

La prueba del Lema: Pick $N$ lo suficientemente grande para que $\forall n\geq N$, $$sup_{ \|x-y\|=r} g_n(x)<g_n(y).$$ La existencia de una $N$ sigue del hecho de la correspondiente desigualdad se cumple para $g$ por hipótesis, y la convergencia uniforme de $g_n$. Para cualquier $n\geq N$, pick $x_n$ a un máximo de $g_n$ a $B(y,r)$. Debido a lo anterior la desigualdad, $x_n$ está en el interior de la bola de $B(y,r)$. Así que la derivada satisface $dg_n(x_n)=0$.

Deje $x$ ser un punto límite de una larga de $(x_n)$. Desde $g_n(x_n)\geq g_n(y)$ , por definición, de $x_n$, tomando el límite que hemos $g(x)\geq g(y)$, y, por supuesto, $x_n$ es todavía en la cerrada de la bola de $B(y,r)$. Así que, necesariamente, $x=y$ desde $y$ es un local estricto máximo de $g$ a $B(y,r)$. Esto concluye la prueba del Lema.

Ahora, para tratar el caso general, elegir un punto de $y$ y definir $$g_n(x)=f_n(x)-f(x)-\|x-y\|^2.$$ Claramente, esta secuencia de $C^1$ funciones converge a $g(x)=-\|x-y\|^2.$ Ahora podemos aplicar el Lema, por lo que hay una secuencia $(x_n)_n$ tal que $\lim x_n=y$, y $dg_n(x_n)=0$. Pero ya $$dg_n(x_n).h=df_n(x_n).h-df(x_n).h-2\langle x_n-y, h \rangle,$$ así $$df_n(x_n)=df(x_n)+ 2\langle x_n-y, . \rangle.$$ La linealidad de las formas $h\mapsto 2\langle x_n-y, h \rangle$ converge a cero, porque de Cauchy-Scharwz la desigualdad, y $df(x_n)$ converge a $df(y)$ desde $f$ es $C^1$. Esto concluye la prueba.