Demostrando irracionalidad de$\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}$

Question

Necesito demostrar que $$\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}$ $ es irracional, asumí $$\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9} = \frac{m}{n}$ $ Cubré ambos lados y obtuve $$\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9} = \frac{m^3-12n^2}{9n^3}$ $

Intenté establecer $$\frac{m^3-12n^2}{9n^3} = \frac{m}{n}$ $ pero eso no me llevó a ninguna parte. ¿entonces Que puedo hacer?

Answer 1

Deje $\sqrt[3]3+\sqrt[3]9=r$.

Por lo tanto, ya que para todos los reales $a$, $b$ e $c$ tenemos: $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc),$$ , obtenemos: $$3+9-r^3+9r=0.$$

Ahora, vamos a $r=\frac{m}{n},$ donde $m$ e $n$ son productos naturales con $gcd=1.$

Por lo tanto, $$m^3-9n^2m-12n^3=0,$$ which says that $m$ is divisible by $3$.

Deje $m=3m'$, donde $m'$ es un número natural.

Por lo tanto, $$9m'^3-9n^2m'=4n^3,$$ which says that $n$ is divisible by $3$, lo cual es una contradicción.

Answer 2

Aquí hay dos tomas.

Tomar 1

Deje $\alpha = \sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}$. A continuación, $\alpha^3 = 9 \alpha + 12$.

Por el racional de la raíz teorema, si $\alpha$ es racional, entonces $\alpha$ es un número entero.

Ahora $1 < \sqrt[3]{3} < 2 $ e $2 < \sqrt[3]{9} < 3 $, y por lo $3 < \alpha < 5$.

Desde $x=4$ no es una raíz de $x^3 = 9 x + 12$, $\alpha$ no es un número entero y por lo $\alpha$ es irracional.

Tomar 2

Tenemos $\alpha = \beta+\beta^2$, donde $\beta=\sqrt[3]{3}$.

Si $\alpha$ fueron racional, a continuación, $\beta$ sería una raíz de una ecuación cuadrática polinomio con coeficientes racionales. Sin embargo, el polinomio con coeficientes racionales con menos grado de tener $\beta$ como una raíz es $x^3-3$.

Answer 3

Deje $a=\sqrt[3]{3}$ y $b=\sqrt[3]{9}$ , y suponga que $a+b=r$ es racional. Entonces $$r^3 =(a+b)^3 = a^3+3ab(a+b)+b^3 = 12+9(a+b)=12+9r$ $

Entonces $r$ es una solución de la ecuación $x^3-9x-12=0$ que no tiene una raíz racional.