Sobre la definición de curvatura

Question

En Do Carmo de la geometría diferencial libro, él dice que para una curva de $\alpha: I=(a,b)\rightarrow\mathbb{R}^3$ parametrizada por longitud de arco, "ya que el vector tangente $\alpha'$(s) tiene unidad de longitud, la norma $|\alpha''(s)|$ de la derivada segunda de las medidas de la tasa de cambio del ángulo en el que los vecinos de las tangentes hacer con la tangente en el $s$.

¿Por qué la unidad de longitud del vector tangente implica este sentido geométrico de $|\alpha''(s)|$?

Answer 1

Imagínese que usted está conduciendo en una carretera y estás sentado en el coche. Por las leyes de Newton de movimiento cada vez que hay una aceleración, usted va a sentir que algo te tira hacia el asiento, o más generalmente en la dirección opuesta a la aceleración. Puesto que la velocidad es un vector y la aceleración es causada por un cambio en la velocidad, dos cosas pueden causar una aceleración: un cambio en la dirección del vector de velocidad o un cambio en su magnitud.

Mientras estamos conduciendo en una carretera recta, la dirección es siempre la misma. El único tipo de aceleración que creemos que es causado por un cambio en la magnitud de la velocidad (velocidad). Por otro lado, que todos han sentido que cuando nos ponemos a hacer un giro en U o de conducción en un no-recta (curva) en la carretera, incluso con velocidad constante, una misteriosa fuerza que nos arrastra hacia el centro del círculo que se adapte a nuestra ruta de los mejores en ese momento. Este tipo de aceleración es causada por un cambio en la dirección de la velocidad y es causada por la curvatura de la carretera.

En geometría, estamos interesados en este segundo tipo de cambio. No queremos que el cambio en la magnitud de la velocidad cuenta porque queremos una línea recta que tiene curvatura cero. Por lo tanto, primero hay que hacer algo para asegurar que la velocidad de nuestra curva es siempre constante, de preferencia igual a $1$. Esto puede lograrse mediante la reparametrizing nuestra curva con la longitud de arco como usted dijo. Consulte aquí para obtener más información acerca de reparametrizing por la longitud del arco.

También, la idea de medir la curvatura mediante la aceleración es importante y es la base de la definición de muchos de los conceptos importantes en el futuro, tales como geodesics, la diferenciación covariante, transporte paralelo, etc.

Answer 2

Es más fácil pensar en dos dimensiones. Supongamos $\alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^2$. Podemos codificar la derivada con coordenadas polares. Hay dos funciones de $r:I\rightarrow\mathbb{R}$ e $\theta:I\rightarrow\mathbb{R}$ tales que $$ \alpha'(s) = (r(s)\cdot \cos \theta(s) r(s)\cdot \sin \theta(s)). $$ Observe que $$ \begin{align} \alpha''(s) &= (r'(s)\cdot \cos \theta(s) - r(s)\theta'(s) \sin \theta(s), r'(s)\cdot \sin \theta(s) + r(s)\theta'(s) \cos \theta(s)) \\ &= r'(s) (\cos \theta(s), \sin \theta(s)) + r(s)\theta'(s) (-\sin \theta(s), \cos \theta(s)). \end{align} $$ El primer término es la aceleración y el segundo término es la aceleración centrípeta. Si sólo queremos la tasa a la que el ángulo está cambiando, $\theta'(s)$, entonces podemos forzar $r(s)$ 1 por reparametrizing la curva. Si establecemos $r(s)=1$, luego $$ \begin{align} \alpha''(s) &= r'(s) (\cos \theta(s), \sin \theta(s)) + r(s)\theta'(s) (-\sin \theta(s), \cos \theta(s)) \\ &= \theta'(s) (-\sin \theta(s), \cos \theta(s)). \end{align} $$ Tomando la norma de ambos lados da, $$ \begin{align} ||\alpha''(s)||&= ||\theta'(s) (-\sin \theta(s), \cos \theta(s)) || \\ &= |\theta'(s)|\cdot ||(-\sin \theta(s), \cos \theta(s)) || \\ &= |\theta'(s)|. \end{align} $$