¿Por qué es Laplaciano ubicuo?

Question

Lo que estoy preguntando aquí es una cuestión moral. Matemáticamente moral, no te molestes con la física.

Quiero decir, el número de Euler es omnipresente porque, entre todas las exponenciales, es el único que es su propia derivada con todas las consecuencias que conocemos.

Sé que el Laplaciano contiene información sobre la curvatura, la media de la función, etc. por lo que es lo que deseas en el flujo de curvatura media, o campos geométricos con el mismo sabor. No es mi campo, pero me parece que incluso aparece en argumentos combinatorios en álgebras de Lie. Se pueden pensar miles de hechos interesantes, ya sabes.

Así que parece que hay algo fundamental que no puedo alcanzar y que nadie me ha señalado nunca.

¿Cuáles son tus pensamientos?

Answer 1

El Laplaciano (negativo) es $-\text{div} \nabla$, y la fórmula de integración por partes nos dice que $-\text{div}$ es el adjunto del operador gradiente $\nabla$ (en entornos donde la término de frontera se anula). Por lo tanto, el Laplaciano tiene el patrón familiar $A^T A$, que se repite a lo largo del álgebra lineal y matemáticas. Esto sugiere que el Laplaciano (negativo) es un operador simétrico definido positivo, por lo que esperaríamos que exista una base de autofunciones para el Laplaciano. Esto motiva el tema de los valores propios del Laplaciano.

Gilbert Strang enfatiza la ubicuidad de $A^T A$ en sus libros de álgebra lineal y matemáticas aplicadas.