Cómo construir un número trascendental.

Question

Estoy haciendo un proyecto sobre irracional y trascendente números y me preguntaba cómo podría construir una "nueva" trascendental número. Sé que todos los números de Liouville son trascendentales por lo que este podría ser un buen lugar para comenzar, sin embargo me gustaría probar y crear uno no necesariamente pertenecientes a ese grupo de números. Además de eso, soy consciente de Liouville del teorema de los alrededores trascendental números y también han encontrado una prueba de lo que el teorema es verdadero y tiene Liouville constante.

Una vez más debo saber acerca de la Gelfond-Schneider teorema, pero se aplica la misma idea. Me gustaría permanecer lejos de la obvia sustituciones decir $4^{\sqrt{17}}$ es trascendental, pero no realmente "interesante". También cualquier extraño teoremas me gustaría probar y probar para el bien de la finalización. Yo no quiero afirmar algo y sólo tienen allí. Me gustaría ser lo más exhaustivo posible.

Cualquier ayuda es muy apreciada y gracias de antemano

Answer 1

Tome su favorito polinomio, $p(x) := x^2-x-1$, y su favorito trascendental número $c := \pi$. El número de $p(c)$ es trascendental.

La clave para trascendental números es polinomios con números enteros o racionales de los coeficientes. Si $p(c)$ fue algebraicas, entonces existe polinomios $q(x)$ tal que $q(p(c))=0$ pero, a continuación, la composición de la $r(x):=q(p(x))$ es también un polinomio y $r(c)=0$ lo que implicaría que $c$ es algebraico. El contrapositivo declaración se ha demostrado.

Answer 2

Cada algebraica de números es computable, por lo que cada uncomputable número es trascendental.

Usted tiene una amplia variedad de uncomputable números para elegir. Si el objeto de que usted no puede "construir" ellos, entonces usted tendrá que ser más precisos en lo que entendemos por 'construir'. Después de todo, usted no puede realmente 'construir' $π$ en todos los casos; sólo se puede calcular un número finito de dígitos.

Diagonalizing en contra de números algebraicos produce una computable trascendental número.

Básicamente, usted puede computably enumerar todos los triples $(Q,x,y)$ donde $Q$ es un polinomio entero y $x,y$ son racionales tales que $x<y$. Por lo tanto, se puede escribir un programa explícito de que representa una real $r$ en $[0,1)$ (es decir, en la entrada de $k$ salidas de la $k$-th ternario dígitos), el cálculo de $k$-ésimo dígito $d$ de $r$ como sigue. Deje $(Q,x,y)$ ser $k$-th triple en la enumeración. Si $Q(x) < 0 < Q(y)$, a continuación, utilizar una búsqueda binaria para encontrar algo de $z ∈ [x,y]$ tal que $Q(z) = 0$ a $k$ ternario dígitos, y deje $d$ ser el menos dígitos (es decir, $0$ o $1$) que difiere de la $k$-ésimo dígito de $z$. De lo contrario, deje $d = 0$.

Se puede demostrar que cada algebraica de números será diagonalized contra por $r$, desde el $r$ es una raíz simple de algunos distinto de cero el polinomio (porque cada múltiplo de la raíz de un número entero distinto de cero polinomio con multiplicidad $m$ es una raíz simple de la $(m-1)$-ésima derivada de ese polinomio), y cada número entero distinto de cero polinomio tiene un número finito de raíces para cada raíz será la única raíz en algún suficientemente pequeño racional intervalo de alrededor.

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Alguien me señaló una alternativa de diagonalización, que es computably enumerar todas entero distinto de cero polinomios y calcular el deseado real $r = 0.\cdots$ por iterativamente anexando extra dígitos binarios para evitar que las raíces de cada polinomio en la enumeración. Considere cada uno de los enumerados polinomio $Q$, y deje $d$ ser su grado. A continuación, elija cualquier $(d+1)$ distintas extensiones de la actual $r$ (en la mayoría de las $\log_2(d+1)+1$ dígitos adicionales son necesarios), y deje $s$ ser uno de ellos que no es una raíz de $Q$, que existe desde $Q$ tiene más de $d$ raíces. Calcular racional $δ > 0$ tal que $Q(x) ≠ 0$ por cada $x ∈ [s-δ,s+δ]$. (Usted puede conseguir esto mediante el desarrollo de la prueba de la continuidad de la $Q$ a $s ∈ [0,1]$, desde el $|Q(s)| > 0$.) Por lo tanto, podemos anexar dígitos adicionales para $r$ para asegurar que el producto final $r$ está en el intervalo de $[s-δ,s+δ]$. (En cualquier momento si $r$ ha $k$ dígitos binarios, a continuación, la final de la $r$ sería en $[r,r+2^{-k}]$.)