En lo que sigue, parto de la base de que $c > 0$ .
Su $N(x)$ se denomina comúnmente $\Phi(x)$ y se denomina función de distribución de probabilidad acumulada de la variable aleatoria normal estándar. Así pues, lo que tenemos es la evaluación de $$\int_{-\infty}^\infty e^{-(x-a)^2}\Phi(cx+d)\,\mathrm dx = \sqrt{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-(x-a)^2}}{\sqrt{\pi}}\Phi(cx+d)\mathrm dx$$ donde lo que multiplica $\Phi(cx+d)$ en el integrando es la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria normal $X$ con media $a$ y varianza $\frac{1}{2}$ . Si $Y$ es otra variable aleatoria normal con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$ , entonces $$P\{Y \leq x\} = \Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) = \Phi(cx+d)$$ si elegimos $\sigma = \frac{1}{c}$ y $\mu = -\sigma d= -\frac{d}{c}$ . Ahora bien, si $X$ y $Y$ se consideran independiente variables aleatorias, entonces la condicional probabilidad $P\{Y \leq X \mid X = x\}$ es sólo $\Phi(cx+d)$ y el incondicional probabilidad de que $Y$ no supera $X$ es, por la ley de la probabilidad total, $$\begin{align} P\{Y \leq X\} &= \int_{-\infty}^\infty P\{Y \leq X \mid X = x\} f_X(x)\,\mathrm dx\\ &= \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-(x-a)^2}}{\sqrt{\pi}}\Phi(cx+d)\mathrm dx \end{align}$$ que es la integral que se desea evaluar (excepto para la integral $\sqrt{\pi}$ factor).
Pero.., $P\{Y \leq X\} = P\{Y-X\leq 0\}$ donde $Y-X$ es también una aleatoria normal con media $\hat{\mu}= -\frac{d}{c}-a$ y varianza $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{c}+\frac{1}{2}$ y así $$P\{Y \leq X\} = \Phi\left(\frac{0-\hat{\mu}}{\hat{\sigma}}\right) = \Phi\left(\frac{\frac{d}{c}+a}{\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{2}}}\right)$$ dando
$$\int_{-\infty}^\infty e^{-(x-a)^2}\Phi(cx+d)\,\mathrm dx = \sqrt{\pi}\cdot\Phi\left(\frac{\frac{d}{c}+a}{\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{2}}}\right).$$
Para $a=d=0$ el argumento de $\Phi(\cdot)$ es $0$ y así, como se señala en el comentario de @wolfie, su integral tiene valor $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ desde $\Phi(0) = \frac{1}{2}$ . Del mismo modo, el valor es $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ mientras el relación $\frac{d}{c}$ es igual a $-a$ y, en particular cuando $c = \sqrt{2}$ y $d=-a\sqrt{2}$ . Tenga en cuenta que el valor de $d$ es el negativo de lo expuesto en el comentario de @Lucas. No estoy seguro del valor $\sqrt{\pi}/8$ declarado por Lucas para el caso $c=\sqrt{2}$ , $d=+a\sqrt{2}$ .
¿Y si $c < 0$ ? Bien, $\Phi(cx+d)=1-\Phi(-cx-d)$ por lo que un resultado similar puede resultado similar.
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