Una propiedad de las raíces de la serie truncada por $\sin(x)$

Question

Deje $p_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}$

En otras palabras, $p_n$ es el polinomio de hecho de la primera $n$ términos de la expansión de Taylor de $\sin(x)$$x = 0$.

$\begin{align*} p_0(x) &= x\\ p_1(x) &= x - \frac{x^3}{6}\\ p_2(x) &= x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}\\ &\vdots\end{align*}$

Estoy interesado en las raíces de estos polinomios. Cada una de las $p_n$ tiene algunas raíces reales y complejas raíces. Dado $n$, vamos a $M$ ser el máximo valor absoluto de todas las raíces reales de $p_n$.

¿Cómo podemos demostrar que todos los complejos de raíz de $z$$p_n$$\vert \Re(z)\vert > M$?

Answer 1

Me refiero al papel 230 de Richard Varga S de la colección de artículos con el título de 'Ceros de las sumas parciales de $\cos (z)$$\sin(z)$'.

Un paso importante es ver la escala (por grado) el polinomio de taylor truncada. Si su polinomio $p(z)$ es de grado $n$ usted podría mirar a $p(nz)$. También puede buscar en google la 'Szegő Curva', que está dada por $|ze^{1-z}|=1$$|z| \leq 1$. Esta es la curva que la escala polinomio de taylor de $e^z$ enfoques $n\rightarrow\infty$.

De lo contrario, el enlace a MO que Olivier publicado también es muy útil.

Y, por supuesto, de Olivier sugerencia para buscar en el documento original por Szegő, que contiene una gran cantidad de este ya así (si se puede conseguir y se puede entender alemán). De lo contrario usted debe loook en la varga de papel 221 - que es principalmente acerca de la convergencia de los polinomios de taylor de $e^z$ a la Szegő Curva. Así que yo hice referencia a dos documentos, a saber, 230 y 221 - no es el mismo dos veces.

Answer 2

He aquí un interesante resultado que está relacionado con su pregunta.

Deje $P_{n}(x)$ $n$th orden de polinomio de Taylor para $\sin(x)$ $x=0.$

$$P_{1}(x) = P_{2}(x) = x,$$

$$P_{3}(x) = P_{4}(x) = x - {\tiny \frac{1}{6}}x^{3}, \;\; \mbox{etc.}$$

En cada intervalo compacto, estos polinomios convergen uniformemente a $\sin(x)$ $n \rightarrow \infty,$ de lo que se deduce que el número de ceros de $P_{n}(x)$ enfoques $\infty$ $n \rightarrow \infty.$

Deje $Z(n)$ el número de ceros, a contar de la multiplicidad, de $P_{n}(x)$. Entonces

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{Z(n)}{n} \; = \; \frac{2}{\pi e}$$

Una prueba está dado en la siguiente página de papel 2 por Rothe, la que está en internet (.archivo pdf). La prueba dada en este documento deben ser accesibles a un bastante fuerte de la escuela secundaria cálculo del estudiante.

Frantz Rothe, las Oscilaciones de los polinomios de Taylor para la función seno, Nieuw Archief voor Wiskunde (5) 1 (2000), 397-398.

http://www.nieuwarchief.nl/serie5/pdf/naw5-2000-01-4-397.pdf

Este resultado también se puede encontrar en el siguiente artículo (que no se mencionan por Rothe):

Norman Miller, La serie de Taylor de la aproximación de las curvas para el seno y coseno, American Mathematical Monthly 44 #2 (febrero de 1937), 96-97.