Convertir un número entero $N$ en binario y luego leer el resultado como un número de base-10 $N_2$ el primer $N=3$ da $N_2=11$ (que también es primo) y $N=5$ da $N_2=101$ . Son $3$ y $5$ ¿los únicos números primos cuyas expansiones binarias, leídas como decimales, también dan primos? Si es así, ¿cómo es posible demostrarlo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Un análisis ingenuo sugiere que debería haber infinitas: hay $2^{n-2}$ números de $n$ (binario) para probar (tenga en cuenta que cada $n$ -El número de dígitos debe empezar por $1$ y tiene que terminar con $1$ o si no, será parejo). Un número "medio" de tamaño aproximadamente $10^n$ es primo con probabilidad $\approx\dfrac1{\ln(10^n)}=\dfrac1{n\ln10}$ por la PNT, e igualmente una de tamaño aproximado $2^n$ es primo con probabilidad $\approx\dfrac1{n\ln2}$ . Suponiendo que estos dos eventos son independientes, entonces la probabilidad de que un $n$ es primo en ambas representaciones es $\dfrac1{\ln2\ln10}\cdot\dfrac1{n^2}$ por lo que deberíamos esperar unos $\dfrac{2^n}{4\cdot\ln2\cdot\ln10\cdot n^2}$ tales "dobles primos" de $n$ dígitos. Como $2^n\gg n^2$ Esto debería seguir siendo positivo para cada $n$ de hecho, aumenta exponencialmente, por lo que la suma de $n$ y dejar que $n\to\infty$ deberíamos esperar un número infinito de estos primos.
Por otro lado, es casi seguro que nadie ha demostrado que haya infinitos, y sería una sorpresa si alguien fuera capaz de hacerlo: la maquinaria actual de la teoría de los números ha demostrado estar mal equipada para tratar las cuestiones "exponenciales" sobre los primos (por ejemplo, las cuestiones de si hay infinitos primos de Mersenne o primos de Fibonacci), e incluso cuestiones aparentemente simples sobre las representaciones de los números en múltiples bases (por ejemplo, "¿la expansión en base 3 de $2^n$ contienen un dígito 2 para todos $n\gt8$ ?") no sólo no están resueltos, sino que ni siquiera se conoce un "plan de ataque" razonable. Dado que su pregunta se encuentra en la intersección de estos dos caminos llenos de baches, es justo decir que haría falta una revolución en nuestro conocimiento de la teoría de los números para responderla definitivamente.
