$C_0$ Convergencia de las métricas bajo el flujo de Ricci cuando $\chi(M) = 0$ .

Question

Soy un estudiante de posgrado principiante, y estoy tratando de aprender aspectos básicos del flujo de Ricci a través del teorema de uniformización para superficies compactas. Estoy leyendo el libro introductorio de Chow y Knopf, así como el artículo original de Hamilton sobre el tema. Tengo una pregunta sobre el siguiente teorema:

Teorema : Si $(M^2, g_0)$ es una superficie compacta con métrica $g_0$ entonces una familia de métricas de 1 parámetro $g(t)$ con $g(0) = g_0$ bajo la ecuación de Ricci-Flow normalizada: $$ \frac{\partial g}{\partial t} = - (R_g - r) g $$ existe para todo el tiempo y converge en cada $C^k$ -a una métrica de curvatura escalar constante. Aquí $R$ es la curvatura escalar y $r = \int_M R_g d\mu_{g}/\int_{M}d \mu_{g} $ es la curvatura escalar media. $r$ es constante por el Teorema de Gauss-Bonnet.

La prueba se divide en tres casos, cada uno de ellos de dificultad creciente: $r < 0$ , $r = 0$ y $r>0$ . Tengo una pregunta sólo sobre el $r = 0$ caso. La idea para ambos $r = 0$ y $r<0$ es aplicar el principio de máximo a las cantidades relacionadas con los solitones gradiente-ricci.

En el libro de Knopf y Chow, demuestran que las métricas son equivalentes para todo el tiempo cuando $r \leq 0$ (Proposición 5.15). Entonces dicen que basta con que $R$ y todas sus derivadas van a cero como $t \to \infty$ . Sin embargo, demuestran que $|R| \leq C/(1+t)$ , donde $C>0$ . Esta función no está en $L^1([0, \infty))$ y la hipótesis: $$ \int_0^\infty \left|\frac{\partial g}{\partial t}\right|_{g(t)} dt < \infty $$ no se aplica (véase el lema 6.49 en Chow y Knopf). Esta hipótesis se utiliza para demostrar que las métricas convergen uniformemente.

Por otro lado el trabajo de Hamilton, muestra que los límites integrales de $R$ y sus dos primeras derivadas decaen exponencialmente con el tiempo. Luego utiliza una desigualdad de Sobolev para obtener que $|R_{\max}|$ también decae exponencialmente. Entonces la hipótesis anterior es satisfecha por la ecuación de Flujo Normalizado-Ricci.

Pregunta: ¿Hay un hecho básico que Chow y Knopf están explotando que implica que $g$ converge en $C_0$ ? Son excelentes a la hora de incluir detalles relevantes y tienen una buena visión de este tema, así que estoy ansioso por saber cómo están pensando en esto.

Answer 1

Se podría conseguir utilizando las desigualdades de Poincaré y Sobolev, dada la mejor tasa de decaimiento de $|\nabla R|$ : Desde $\int_M R = 0$ por Gauss-Bonnet, se puede aplicar la desigualdad de Poincaré y obtener que $$||R_{g(t)}||_{L^p(M)} \leq C||\nabla R_{g(t)}||_{L^p(M)}$$ para cualquier $p$ . Pero para el gradiente de $R$ tenemos la decadencia mejorada $|\nabla R_{g(t)}| \leq C/(1+t)^{3/2}$ que es integrable en el tiempo. Pero entonces también tenemos la desigualdad de Sobolev (desigualdad de Morrey según Wikipedia) que dice que $$ ||R||_{C^{0,\alpha}(M)} \leq C||R||_{W^{1,p}(M)} $$ para $p$ lo suficientemente grande. Juntando todo esto obtenemos un límite $$||R_{g(t)}||_{L^{\infty}(M)} \leq C ||R_{g(t)}||_{W^{1,p}(M)} \leq C||\nabla R_{g(t)}||_{L^p(M)} \leq C||\nabla R||_{L^{\infty}(M)} \leq \frac{C}{(1+t)^{3/2}}.$$ Ahora que sabes $R$ es integrable, se puede integrar $\frac{\partial g}{\partial t}$ para obtener la métrica límite, ya que $$\frac{\partial g(t)}{\partial t} = -R_{g(t)}g(t)$$ y el $g(t)$ son uniformemente equivalentes.