Supongamos que$\kappa$ débilmente inaccesible y$D$ es un filtro normal,$\kappa$ - completo y$\kappa$ - saturado. ¿Esto garantiza que$\{\alpha<\kappa\mid cf(\alpha)=\alpha\}\in D$?
Respuesta
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Voy a tomar una grieta en ella. Deje $I$ ser el asociado normal, $\kappa$saturada ideal en $\kappa$. Suponga que para el propósito de la contradicción que $\{\alpha<\kappa: cf(\alpha)<\alpha\}\in I^+$ donde $I^+$ es el conjunto de $I$-positivo conjuntos. Siguiente por la normalidad, tenemos que existe una $\delta$ tal que $\{\alpha<\kappa: cf(\alpha)=\delta\}\in I^+$.
Vamos, a continuación, deje $X=\{\alpha<\kappa: cf(\alpha)=\delta\}$. Por lo $X\in I^+$. Para cada ordinal $\alpha\in X$, vamos a elegir por el Axioma de la Elección de un cofinal secuencia $\langle \xi^{\alpha}_{\gamma}:\gamma<\delta\rangle$$\alpha$. Además, para cada $\gamma<\delta$, vamos a definir las siguientes funciones: $f_{\gamma}$ en el conjunto $X$: $f_{\gamma}(\alpha)=\xi^{\alpha}_{\gamma}$. A continuación mostramos la siguiente afirmación:
Para cada $\gamma<\delta$, existe un conjunto $X_{\gamma}\subset X$ tal que $X_{\gamma} \bigtriangleup X\in I$ (que es la diferencia simétrica es pequeño) y existe un cierre de puntos de $\beta_{\gamma}<\kappa$ tal que $f_{\gamma}"X_{\gamma}\subseteq \beta_{\gamma}$.
Esto es cierto debido a la siguiente razón: las funciones $f_{\gamma}$ definido anteriormente en el set $X$, son todos regresiva para cada $\gamma<\kappa$. Por lo tanto, si dejamos $X_{\rho}=\{\alpha\in X: f_{\gamma}(\alpha)=\rho\}$ $\rho<\kappa$ $\gamma<\kappa$ y si dejamos $Y=\{\rho<\kappa: X_{\rho}\in I^+\}$, $\kappa$- saturación debemos tener ese $\vert Y\vert<\kappa$ e lo $sup(Y)<\kappa$. Vamos a definir a continuación $X_{\gamma}=\bigcup_{\rho\in Y} X_{\rho}$ el uso de la normalidad.
Finalmente, utilizando, para cada $\gamma<\kappa$, los conjuntos de $X_{\gamma}\subseteq X$ tal que $X_{\gamma}\bigtriangleup X\in I$ y el cierre de los puntos de $\beta_{\gamma}<\kappa$ tal que $f_{\gamma}"X_{\gamma}\subseteq \beta_{\gamma}$, y el establecimiento $sup\{\beta_{\gamma}:\gamma<\delta\}=\beta<\kappa$, luego tenemos a $\bigcap_{\gamma<\delta}X_{\gamma}\subseteq \beta$, sin embargo, por $\kappa$-integridad debemos tener $\bigcap_{\gamma<\delta}X_{\gamma}\in I^+$, una contradicción.
Por lo tanto, debemos tener ese $\{\alpha<\kappa:cf(\alpha)=\alpha\}\in D$.
De hecho, incluso más es verdad, cada conjunto estacionario $S\subseteq \kappa$ refleja en un conjunto en $D$ y si uno asume, además, que los $V=L$, entonces esto implica que $\kappa$ debe ser débilmente compacto, este es un resultado de Jensen.
