Construcción de los números hiperreales

Question

Varias veces he visto aquí preguntas/respuestas sobre el uso de la definición correcta de los derivados. También hay preguntas sobre si $1/0$ se define. A veces se discute sobre el concepto de números infinitesimales e infinitos que supongo están relacionados con Números hiperreales ${}^*\mathbb{R}$ (corrígeme si me equivoco).

Mi pregunta es

¿Cómo se construye/define el conjunto de los números hiperreales?

Estoy específicamente interesado en entender qué son los hiperreales como set y cómo los hiperreales se convierten en un campo ordenado (Esto incluiría necesariamente especificar cuáles son los inversos de los elementos "extra" en ${}^*\mathbb{R}$ son). ¿Cómo, por ejemplo, se $\mathbb{R}$ sentarse dentro ${}^*\mathbb{R}\,?$

Edición: Veo que la pregunta "Crear los hiperreales usando..." ya pregunta sobre esto, pero me pregunto si la construcción del set puede explicarse claramente.

Answer 1

Hay un par de Mensualmente artículos que ofrecen introducciones razonablemente accesibles. Véase

Wm. Hatcher. El cálculo es álgebra, AMM 1982.

D.H. Van Osdol. La verdad con respecto a un ultrafiltro o Cómo hacer que la intuición sea rigurosa. AMM, 1972. .

Para una introducción mucho más completa a los ultraproductos, véase

Paul Eklof. Ultraproductos para algebristas, 1977.

Answer 2

Para motivar la construcción de los hiperreales, se podría comparar con la construcción de los números reales como clases de equivalencia de las secuencias de Cauchy de los números racionales. Es decir, los hiperreales se pueden construir de forma similar como clases de equivalencia de las secuencias de Cauchy de los números reales. Para motivar la construcción, hay que tener en cuenta que se produce un gran "colapso" cuando se pasa de una secuencia de Cauchy a su clase de equivalencia. En concreto, se pierde toda la información sobre cualquier cosa relacionada con la índice de convergencia de la secuencia.

De hecho, la construcción de los hiperreales se puede conseguir refinando la construcción de la secuencia de Cauchy. La relación de equivalencia refinada declarará dos secuencias $(u_n)$ y $(v_n)$ sean equivalentes si coinciden en un conjunto "dominante" de índices; es decir, el subconjunto de $\mathbb{N}$ dado por $\{n\in\mathbb{N} : u_n=v_n\}$ es "dominante". En un momento comentaré la naturaleza de los conjuntos de índices "dominantes". Ahora bien, si tomamos el conjunto de clases de equivalencia, sólo obtendremos un conjunto finito (más exactamente, limitado ) hiperreales. Esto incluye los infinitesimales, es decir, los hiperreales representados por secuencias nulas $(u_n)$ (es decir, secuencias que tienden a cero).

Para convertir esto en un campo, también se necesitan los elementos representados por las secuencias $(\frac{1}{u_n})$ donde $(u_n)$ representa un infinitesimal. Nótese que tales secuencias $(\frac{1}{u_n})$ ya no son Cauchy. La gracia es que si se asume CH, el resultado es el campo hiperreal completo (dada una elección apropiada de ultrafiltro, a saber, un filtro de punto P). Además, un campo hiperreal construido a través de la ultrapotencia es único hasta el isomorfismo asumiendo CH (en particular, independiente del ultrafiltro utilizado).

Para comentar brevemente la noción de conjunto "dominante" de índices: aquí un conjunto finito nunca es "dominante", y un conjunto cofinito es siempre dominante. Para conseguirlo hay que elegir, de entre cada par de subconjuntos infinitos complementarios de $\mathbb{N}$ precisamente uno que se declarará "dominante" de forma coherente. Para conocer los detalles habría que buscar la noción de ultrafiltro.

Editar 1. Para responder a su pregunta sobre la forma $\mathbb{R}$ se sienta en el interior ${}^{\ast}\mathbb{R}$ , obsérvese que las secuencias constantes $(u_n)$ donde $u_n=r$ dan una incrustación, es decir, un número real $r$ va a la secuencia constante $(u_n)$ como en el caso anterior.