Matriz de rotación para pista de partículas.

Question

Luchando con algunas de las ecuaciones aquí. Tengo una partícula necesito la pista en una absoluta marco de referencia, pero cada paso que mover/rotar con relación a su propio marco de referencia. Necesito hacer un seguimiento de la posición absoluta mientras se mueve relativamente.

Estoy tratando de averiguar el conjunto adecuado de rotación de las matrices. Se propaga a lo largo del eje x y puedo describir su dirección actual con [ux, uy, uz], ahora tengo que girar sobre su propio marco de referencia por la deflexión de la $\theta$ (desviación de dirección incidente) y azimutal de la rotación $\phi$ (rotación alrededor de dirección incidente), y luego encontrar su nueva posición, [ux', uy', uz']. Debo multiplicar por la matriz de rotación, a la descomposición, [y,$\theta$], entonces ROT[x,$\phi$] o el orden opuesto?

Me estoy haciendo a mí mismo confundido. A modo de referencia, estoy tratando de obtener el conjunto de ecuaciones en (pdf) en la página 20 de este documento.

Es una) no se deriva muy bien y b) que se derivan para la propagación a lo largo del eje z, no el eje de las x.

TL;DR - tengo un vector en un espacio que apunta en una dirección arbitraria, descrito por sus proyecciones en el mundo x,y,z-eje. Necesito rotar el vector, en relación a su propio marco de referencia, y encontrar los ejes de las proyecciones. Es esencialmente un problema de trazado de rayos. Entrante ray necesidades a punto en una nueva dirección - ¿cuál es esa dirección?

Answer 1

Deje $R$ ser el de rotación de la matriz que tiene los ejes locales de la trama, representados en el mundo de las coordenadas en sus columnas. Esto significa que $R$ como una matriz de mapas de las direcciones de los vectores se expresan con proyección en el local de marco para el espacio del universo. Deje $T$ ser la rotación que se tiene que aplicar, que está escrito en las coordenadas locales. Lo que tienes que hacer es: transformar a las coordenadas locales (inverso de $R$ hace eso), hacer la rotación, y de volver:

$$\vec{x}'=RTR^T\vec{x}$$

Transpuesta es igual a la inversa de matrices de rotación.

Por supuesto, esto se asigna direcciones. Si desea asignar posiciones, también es necesario para deshacer las traducciones, hacer de todo y, a continuación, poner la traducción de la espalda (si el marco no está centrada en el mundo de coordenadas).