El dominio de la función$f(x)=\sqrt{x}$ se puede extender a todos los números reales introduciendo un nuevo número,$i=\sqrt{-1}$.
¿Se puede hacer esto para cualquier función, digamos$\arcsin{x}$, o$\log{x}$?
Que es $\arcsin{2}$? ¿O$\log{-3}$?
Respuestas
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Definimos el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$ el conjunto de $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$, el producto cartesiano del conjunto de los números reales en sí mismo. En estos Números Complejos podemos definir las operaciones como la suma y la multiplicación por escalares. Podemos definir de tal manera que el par $(0; 1)$ que pasa a tener la propiedad de que: $$ (0; 1)^2 = (-1; 0) $$ Y siendo tan importante de la propiedad, tiene su propio nombre como un número. Esto se puede hacer de muchas maneras. Conjuntos numéricos se construyen fácilmente en las matemáticas modernas. Usted puede definir su $\log{-3}$ mediante el uso de números complejos. De hecho, el logaritmo de la función está definida en el plano complejo para todos los no-cero compleja $z$. $$ \log{-3} = \log{i^2} + \log{3} = 2\log{i} + \log{3} $$ Deje $i = e^{i(\frac{\pi}{2} + 2k\pi)}$ cualquier $k \in \mathbb{Z}$. El logaritmo de la unidad imaginaria se define como: $$ \log{i} = i(\frac{\pi}{2} + 2k\pi) $$ Ya tenemos una cantidad infinita de respuestas que dependen de k, solo solemos tomar el "valor principal" del logaritmo: esto es, siempre que $k=0$. No es necesario definir ningún numéricos para resolver un logaritmo negativo.
EDIT: Como algunos han dicho, la función seno en el plano complejo es surjective. $$ \sin{x} = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} $$ Y se puede resolver: $$ \sin{x} = 2 \implies x = \arcsin{2} = \frac\pi2-i\log(2+\sqrt3)$$
florence
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Euler fórmula nos dice que el $e^{ix} = \cos(x)+i\sin(x)$. Por lo tanto, (en un sentido) $\ln (-3) = \ln3+\pi i$, desde $$e^{\ln{3}+\pi i} = e^{\ln 3}e^{\pi i} = 3(\cos \pi + i\sin \pi) = -3$$ (nota: $\ln 3+k\pi i$ han trabajado para cualquier entero impar $k$)
Del mismo modo, si dejamos $z = \frac{\pi}{2}-i\ln(2+\sqrt 3)$, luego $$\sin(z) = \sin(\pi/2)\cos(i\ln(2+\sqrt 3))+\cos(\pi/2)\sin(i\ln(2+\sqrt 3)) = \cos(i\ln(2+\sqrt 3))$$ Desde $e^{ix} = \cos(x)+i\sin(x)$,$\cos(x) = \frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})$, y así $$\sin(z) = \cos(i\ln(2+\sqrt 3)) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2+\sqrt 3}+(2+\sqrt 3) \right) = 2$$
Sin embargo, no siempre es la cara que las funciones pueden ser "ampliado" de esta manera. Como se dijo en un comentario, por ejemplo, no hay forma razonable para definir $\ln 0$ como un número complejo.
Un problema que me ha glosado es que parece que hay varias formas de "elegir" un valor de $\ln (-3)$ y expresiones similares. Esto es similar al problema que hay varias soluciones, digamos, $\sin(x) = 1/2$, y por lo $\sin^{-1}(1/2)$ se define por la realización de una razonable "elección" de entre las soluciones de la ecuación.
mathreadler
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Multiplicando con $i$ gira 90 grados en el plano complejo. Una manera de ser capaz de reducir a pequeños pasos es:
Usted puede utilizar un número muy cerca positivo 1 (sólo un poco imaginario). Por ejemplo:
$$z = \exp\left[\frac{2 \pi \cdot i}{k}\right], \, \text{ $k$ very large integer}$$
Ahora$z^k$$1$. Así se puede llegar a todos los puntos del círculo unitario con una resolución angular de $k$ pasos por rotación. Ahora lo que se necesita es conseguir que fuera del círculo unidad. Podemos hacer esto con un verdadero radio de $$r\in \mathbb R : r = 1+\frac{f}{100}$$ donde f es el paso en el porcentaje de crecimiento. Ahora podemos llegar a cualquier número complejo en una cuadrícula polar con las funciones de encendido y exponentes de números enteros:
$$r^{e_1}\cdot z^{e_2}, \, e_1,e_2 \in \mathbb{Z}$$
